Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo indica parte imaginária de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a soma de um número complexo e seu conjugado é igual a duas vezes a parte real de . Vamos usar conceitos de números complexos, conjugados e partes real e imaginária para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Ele é representado por , onde é a parte real e é a parte imaginária. O representa a unidade imaginária, que satisfaz .

Passo 3

O conjugado de , denotado por , é simplesmente . Ele é obtido invertendo o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Vamos somar e :
Aqui, somamos as partes reais e as parte imaginária separadamente.

Passo 5

Ao somar, as partes imaginárias se cancelam:
Então, a soma fica apenas com o dobro da parte real.

Passo 6

Sabemos que a parte real de é . Então, podemos escrever:

Resposta

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Calcule e considerando
Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
Calcule:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).