Calcule e verifique se os operadores envolvidos comutam.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Você precisa calcular o comutador e verificar se os operadores e comutam. Aqui, é o operador momento e é o operador Hamiltoniano, que geralmente representa a energia total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a forma explícita de , que normalmente é dada por:
onde é a massa da partícula e é o potencial que depende da posição .

Passo 2

Vamos começar calculando o comutador . Substituindo na expressão do comutador, temos:
Os comutadores são lineares, então isso se separa em:

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, o comutador . Sabemos que comuta consigo mesmo, ou seja, . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo termo: . Para isso, usamos a regra de comutação básica entre momentum e potencial. Sabemos que:
onde é a constante de Planck reduzida e é a derivada do potencial em relação à posição.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:

Passo 6

Para verificar se e comutam, precisamos ver se o comutador é igual a zero. A expressão que encontramos é:
Isso será igual a zero apenas se , ou seja, se o potencial for constante em relação à posição. Caso contrário, os operadores não comutam.

Resposta

O comutador é . Portanto, e comutam somente se o potencial for constante.

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