Calcule
e verifique se os operadores envolvidos comutam.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Você precisa calcular o comutador
e verificar se os operadores
e
comutam. Aqui,
é o operador momento e
é o operador Hamiltoniano, que geralmente representa a energia total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a forma explícita de
, que normalmente é dada por:
onde
é a massa da partícula e
é o potencial que depende da posição
.
Passo 2
Vamos começar calculando o comutador
. Substituindo
na expressão do comutador, temos:
Os comutadores são lineares, então isso se separa em:
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, o comutador
. Sabemos que
comuta consigo mesmo, ou seja,
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o segundo termo:
. Para isso, usamos a regra de comutação básica entre momentum e potencial. Sabemos que:
onde
é a constante de Planck reduzida e
é a derivada do potencial em relação à posição.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
Passo 6
Para verificar se
e
comutam, precisamos ver se o comutador é igual a zero. A expressão que encontramos é:
Isso será igual a zero apenas se
, ou seja, se o potencial
for constante em relação à posição. Caso contrário, os operadores não comutam.
Resposta
O comutador é
. Portanto,
e
comutam somente se o potencial
for constante.
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e
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.
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Calcule
e
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.