Calcule [p, H] e verifique se os operadores envolvidos comutam.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Você precisa calcular o comutador H = p^22m + V(x) e verificar se os operadores e comutam. Aqui, é o operador momento e é o operador Hamiltoniano, que geralmente representa a energia total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a forma explícita de , que normalmente é dada por:
onde é a massa da partícula e é o potencial que depende da posição .

Passo 2

Vamos começar calculando o comutador [p, H] = [p, p^22m + V(x)] . Substituindo [p, H] = [p, p^22m] + [p, V(x)] na expressão do comutador, temos:
Os comutadores são lineares, então isso se separa em:

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, o comutador [p, p^22m] = 12m[p, p^2] = 0 . Sabemos que comuta consigo mesmo, ou seja, . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo termo: [p, V(x)] = -ihbar dVdx . Para isso, usamos a regra de comutação básica entre momentum e potencial. Sabemos que:
onde é a constante de Planck reduzida e é a derivada do potencial em relação à posição.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
[p, H] = 0 + (-ihbar dVdx) = -ihbar dVdx

Passo 6

Para verificar se [p, H] = -ihbar dVdx e comutam, precisamos ver se o comutador é igual a zero. A expressão que encontramos é:
Isso será igual a zero apenas se , ou seja, se o potencial for constante em relação à posição. Caso contrário, os operadores não comutam.

Resposta

O comutador é . Portanto, e comutam somente se o potencial for constante.

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