Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal |1rang<=,|2rang<=,|3rang<=. Os kets |alpharang<= e |betarang<= são dados por:
|alpharang<==i|1rang<=-|2rang<=-i|3rang<= ;|betarang<==i|1rang<=+2|3rang<=
Monte lang<=alpha| e lang<=beta| nos termos da base dual |1rang<=,|2rang<=,|3rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais tridimensionais e bases ortonormais. A gente tem uma base e dois vetores chamados de kets: e . A missão é transformar esses kets em seus correspondentes bras, e , usando a base dual. Vamos precisar entender como funciona essa relação entre kets e bras e como aplicar a conjugação complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em espaços vetoriais com números complexos, cada ket tem um bra correspondente , que é basicamente o vetor transposto e conjugado. Isso significa que se , então , onde é o conjugado de , e assim por diante.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao |alpharang<= = i|1rang<= - |2rang<= - i|3rang<= . Dado:
i^* = -i, (-1)^* = -1, (-i)^* = i
Os coeficientes são , e . O próximo passo é calcular o conjugado de cada um desses coeficientes:

Passo 4

Agora, usando a regra que vimos, a bra correspondente lang<=alpha| = (-i)lang<= 1| - 1lang<= 2| + ilang<= 3| será:
lang<=alpha| = -ilang<= 1| - lang<= 2| + ilang<= 3|
Ou de forma mais simplificada:

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para |betarang<= = i|1rang<= + 2|3rang<= . Dado:
i^* = -i, 0^* = 0, 2^* = 2
Aqui, os coeficientes são , (não tem ) e . Calculando os conjugados:

Passo 6

Então, a bra correspondente lang<=beta| = (-i)lang<= 1| + 0lang<= 2| + 2lang<= 3| será:
lang<=beta| = -ilang<= 1| + 2lang<= 3|
Simplificando:

Resposta

lang<=alpha| = -i,lang<= 1| - lang<= 2| + i,lang<= 3|
lang<=beta| = -i,lang<= 1| + 2,lang<= 3|

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