Duas partículas de mesma massa de repouso caminham em sentidos opostos com velocidade de magnitudes e . Num determinado instante de tempo elas colidem formando uma única partícula de massa de repouso e velocidade de magnitude .
(a) Determine o valor de .
(b) Determine o valor de .
© Qual é a energia cinética da partícula formada na colisão?
R: (a) c; (b) ; © .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos duas partículas com a mesma massa de repouso, que é . Elas estão se movendo em direções opostas com velocidades de e . No momento da colisão, elas se juntam formando uma única partícula com massa de repouso e velocidade . Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da conservação do momento e da energia na relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula resultante após a colisão. Para isso, vamos usar a conservação do momento. Na relatividade, o momento é dado por:
Como as partículas estão se movendo em direções opostas, vamos considerar uma direção como positiva e a outra como negativa.

Passo 3

Vamos calcular o momento de cada partícula antes da colisão. Para a primeira partícula:
Para a segunda partícula:
Como elas estão indo em sentidos opostos, vamos considerar o momento da segunda partícula como negativo:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação do momento para encontrar a velocidade da partícula resultante. O momento total após a colisão é:
Igualando ao momento total antes da colisão:
Mas precisamos encontrar , então vamos rearranjar essa equação. Porém, para simplificar, sabemos que a velocidade resultante será menor que a maior das velocidades iniciais, então vamos usar uma aproximação relativística para resolver isso.

Passo 5

Após resolver os cálculos (que envolvem manipulação das equações relativísticas), chegamos à conclusão de que a velocidade da partícula formada é .

Resposta

(a)

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