Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal
. Os kets
e
são dados por:
Calcule
e
e confirme que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial tridimensional com uma base ortonormal, que são os vetores
. Os vetores
e
estão definidos em termos dessa base. Precisamos calcular os produtos internos
e
, e depois verificar se
é o conjugado de
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos internos e das bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores
e
de forma mais clara:
Passo 3
O produto interno
é calculado multiplicando os coeficientes correspondentes dos vetores e somando os resultados. Como a base é ortonormal, os produtos internos
são zero se
e um se
.
Passo 4
Vamos calcular
passo a passo:
Aqui,
é o conjugado de
, que é
.
Passo 5
Distribuindo os termos, temos:
Mas como a base é ortonormal,
e os demais produtos internos são zero.
Passo 6
Simplificando os termos não nulos:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Seguindo o mesmo processo:
Passo 8
Distribuindo os termos:
Novamente, apenas os termos com
são não nulos.
Passo 9
Simplificando:
Como
:
Passo 10
Agora, vamos verificar se
é o conjugado de
.
O conjugado de
é
.
Entretanto, calculamos que
, que não é igual a
.
Parece que houve um erro. Vamos revisar os cálculos.
Passo 11
Na verdade, na etapa de cálculo de
, percebi que houve um equívoco nos termos. Vamos refazer:
Simplificando:
Passo 12
Agora, verificando o conjugado:
Concluímos que:
Resposta
Portanto, temos que:
Exercícios relacionados
Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal
. Os kets
e
são dados por:
Monte
e
nos termos da base dual
.
Calcule
e verifique se os operadores envolvidos comutam.
Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal
. Os kets
e
são dados por:
Calcule os nove elementos de matriz do operador
nos termos dessa base e monte a matriz
. Ela é hermitiana?
Considere os vetores L.I. da base
, onde:
Encontre uma base ortonormal
a partir dos vetores
.