Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Calcule e e confirme que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial tridimensional com uma base ortonormal, que são os vetores . Os vetores e estão definidos em termos dessa base. Precisamos calcular os produtos internos e , e depois verificar se é o conjugado de . Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos internos e das bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores e de forma mais clara:

Passo 3

O produto interno é calculado multiplicando os coeficientes correspondentes dos vetores e somando os resultados. Como a base é ortonormal, os produtos internos são zero se e um se .

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
Aqui, é o conjugado de , que é .

Passo 5

Distribuindo os termos, temos:
Mas como a base é ortonormal, e os demais produtos internos são zero.

Passo 6

Simplificando os termos não nulos:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Seguindo o mesmo processo:

Passo 8

Distribuindo os termos:
Novamente, apenas os termos com são não nulos.

Passo 9

Simplificando:
Como :

Passo 10

Agora, vamos verificar se é o conjugado de .
O conjugado de é .
Entretanto, calculamos que , que não é igual a .
Parece que houve um erro. Vamos revisar os cálculos.

Passo 11

Na verdade, na etapa de cálculo de , percebi que houve um equívoco nos termos. Vamos refazer:
Simplificando:

Passo 12

Agora, verificando o conjugado:
Concluímos que:

Resposta

Portanto, temos que:

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Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Monte e nos termos da base dual .
Calcule e verifique se os operadores envolvidos comutam.
Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Calcule os nove elementos de matriz do operador nos termos dessa base e monte a matriz . Ela é hermitiana?
Considere os vetores L.I. da base , onde:
Encontre uma base ortonormal a partir dos vetores .