Se
existe, o que pode ser dito sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar o que acontece com o limite de
quando
se aproxima de 0, dado que o limite de
existe. A gente vai usar conceitos de limites e propriedades de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um limite existir significa que a função está se aproximando de algum valor específico. No caso, sabemos que
existe. Isso quer dizer que conforme
se aproxima de 0, o quociente
está se aproximando de algum número real, vamos chamar esse limite de
.
Passo 3
Agora, queremos descobrir o que isso implica para
. Para isso, podemos manipular a expressão que temos. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0. Substituindo na expressão que encontramos:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Se
é uma função contínua em um determinado ponto
e além disso ela é par, prove que ela é também contínua no ponto
. E se em vez de par ela for ímpar, ainda vale a mesma conclusão?
Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
A Companhia Ace de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a
por dia e 15 centavos por milha, enquanto a Companhia Acme de aluguel de caminhões aluga o mesmo modelo a
por dia e 20 centavos por milha. De qual companhia um cliente deve alugar um caminhão por um dia se ele planeja percorrer no máximo 70 milhas e deseja fazê-lo ao menor custo possível?
Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.