Se existe, o que pode ser dito sobre ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar o que acontece com o limite de quando se aproxima de 0, dado que o limite de existe. A gente vai usar conceitos de limites e propriedades de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um limite existir significa que a função está se aproximando de algum valor específico. No caso, sabemos que existe. Isso quer dizer que conforme se aproxima de 0, o quociente está se aproximando de algum número real, vamos chamar esse limite de .

Passo 3

Agora, queremos descobrir o que isso implica para . Para isso, podemos manipular a expressão que temos. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando se aproxima de 0. Substituindo na expressão que encontramos:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, .

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Se é uma função contínua em um determinado ponto e além disso ela é par, prove que ela é também contínua no ponto . E se em vez de par ela for ímpar, ainda vale a mesma conclusão?
Calcule de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
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