Se lim x 0 f(x)x existe, o que pode ser dito sobre lim x 0 f(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar o que acontece com o limite de f(x) quando x se aproxima de 0, dado que o limite de f(x)x existe. A gente vai usar conceitos de limites e propriedades de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um limite existir significa que a função está se aproximando de algum valor específico. No caso, sabemos que limx 0 f(x)x existe. Isso quer dizer que conforme x se aproxima de 0, o quociente f(x)x está se aproximando de algum número real, vamos chamar esse limite de L.

Passo 3

Agora, queremos descobrir o que isso implica para limx 0 f(x). Para isso, podemos manipular a expressão que temos. Sabemos que:
f(x)x = L quando x 0
Multiplicando ambos os lados por x, obtemos:
f(x) = L cdot x

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de f(x) quando x se aproxima de 0. Substituindo na expressão que encontramos:
limx 0 f(x) = limx 0 (L cdot x) = L cdot limx 0 x
Sabemos que limx 0 x = 0, então:
limx 0 f(x) = L cdot 0 = 0

Resposta

Portanto, limx 0 f(x) = 0.

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