Calcule de modo que as funções abaixo sejam contínuas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de dois jeitos diferentes: um para e outro para . A parada é garantir que essa função seja contínua, ou seja, que ela não “quebre” em nenhum ponto, especialmente em . Para isso, vamos precisar entender de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o que a função faz quando :
A gente precisa calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 0. Esse limite deve ser igual ao valor da função quando , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para simplificar, podemos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada:
Os cancelam, ficando:
Agora, substituímos :
Então, o limite é .

Passo 4

Para a função ser contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função em :
Vamos resolver para :

Resposta

Portanto, o valor de que torna a função contínua é .

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