Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de dois jeitos diferentes: um para
e outro para
. A parada é garantir que essa função seja contínua, ou seja, que ela não “quebre” em nenhum ponto, especialmente em
. Para isso, vamos precisar entender de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o que a função faz quando
:
A gente precisa calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0. Esse limite deve ser igual ao valor da função quando
, que é
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para simplificar, podemos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada:
Os
cancelam, ficando:
Agora, substituímos
:
Então, o limite é
.
Passo 4
Para a função ser contínua em
, esse limite deve ser igual ao valor da função em
:
Vamos resolver para
:
Resposta
Portanto, o valor de
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Uma calha de 300 cm de comprimento deve ser construída com uma folha de metal de largura 45 cm dobrando-se para cima
da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo
com a horizontal. Determine o volume que a calha carrega se
.