Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial bem legal para resolver usando o método de Equações Homogêneas. A equação que você trouxe é:
Aqui, o conteúdo principal é Equações Diferenciais, especificamente o método para resolver Equações Homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando você considerar e . Olhando para a nossa equação:
Vamos analisar os graus dos termos:
  • tem grau 2.
  • também tem grau 2 porque dentro da raiz, é de grau 2, e a raiz não altera o grau total quando multiplicada por .
  • No denominador, tem grau 2.
Então, todos os termos têm grau 2, o que confirma que a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substitui��ão .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .
Derivando com relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação obtida:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e .

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado direito é mais simples, mas o lado esquerdo requer uma substituição.

Passo 6

Vamos integrar o lado esquerdo:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
A integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original . Lembrando que , então:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Para isolar , vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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