Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial bem legal para resolver usando o método de Equações Homogêneas. A equação que você trouxe é:
Aqui, o conteúdo principal é Equações Diferenciais, especificamente o método para resolver Equações Homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando você considerar
e
. Olhando para a nossa equação:
Vamos analisar os graus dos termos:
-
tem grau 2. -
também tem grau 2 porque dentro da raiz, é de grau 2, e a raiz não altera o grau total quando multiplicada por . - No denominador,
tem grau 2.
Então, todos os termos têm grau 2, o que confirma que a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substitui��ão
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Derivando
com relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação obtida:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos leva a uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado direito é mais simples, mas o lado esquerdo requer uma substituição.
Passo 6
Vamos integrar o lado esquerdo:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para isolar
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo
de ambos os lados:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Nos Exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.
Uma calha de 300 cm de comprimento deve ser construída com uma folha de metal de largura 45 cm dobrando-se para cima
da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo
com a horizontal. Determine o volume que a calha carrega se
.
Use os métodos discutidos em Equações na forma
e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais: