Calcule os parâmetros R, G, L e C para: Uma linha sem perdas com beta=3 rad / m, Z0=50 Omega e f=10 MHz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os parâmetros $ R $, $ G $, $ L $ e $ C $ de uma linha de transmissão sem perdas. Os dados que temos são:
  • Constante de propagação: $ \beta = 3 , rad/m $
  • Impedância característica: $ Z_0 = 50 , \Omega $
  • Frequência: $ f = 10 , MHz $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de linhas de transmissão, especificamente para linhas sem perdas. Precisamos entender como esses parâmetros estão relacionados e usar as fórmulas apropriadas para encontrá-los.

Passo 2

Primeiro, como a linha é sem perdas, isso significa que os parâmetros de resistência $ R $ e condutância $ G $ são iguais a zero:
R
Isso porque, em uma linha sem perdas, não há resistência elétrica nem fuga de corrente, portanto, esses valores são nulos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a indutância $ L $ e a capacitância $ C $ por unidade de comprimento.
Sabemos que, para uma linha sem perdas, a constante de propagação $ \beta $ e a impedância característica $ Z_0 $ estão relacionadas com $ L $ e $ C $ pelas seguintes fórmulas:
L
C
Onde $ \omega = 2\pi f $ é a frequência angular.

Passo 4

Vamos calcular $ \omega $ primeiro:
omega

Passo 5

Agora, vamos usar as duas equações para $ \beta $ e $ Z_0 $:
beta
Z0

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação para $ L $ em termos de $ C $:
L

Passo 7

Agora, substituímos $ L = 2500 , C $ na primeira equação:
L = 2500 , C
Simplificando dentro da raiz:
3 = 2pi times 10^7 raiz2500 , C times C = 2pi times 10^7 raiz2500 , C^2
Então:
raiz2500 , C^2 = 50 C

Passo 8

Resolvendo para $ C $:
C
Calculando:
3 = 2pi times 10^7 times 50 C Rightarrow C = 32pi times 10^7 times 50

Passo 9

Agora que temos $ C $, podemos encontrar $ L $ usando $ L = 2500 , C $:
C

Resposta

Os parâmetros são:
R = 0 , Omega/m, G = 0 , S/m, L approx 2.39 times 10^-6 , H/m, C approx 9.55 times 10^-10 , F/m

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