(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto
dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede três coisas: (i) encontrar o gradiente da função
, (ii) calcular esse gradiente no ponto
, e (iii) determinar a taxa de variação da função nesse ponto na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos determinar a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
. A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção
:
Sabemos que:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
.