(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u. f(x, y) = x / (x^2 + y^2), P(-2, 0) e u = (1/2)(raiz(2) i - raiz(2) j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede três coisas: (i) encontrar o gradiente da função , (ii) calcular esse gradiente no ponto , e (iii) determinar a taxa de variação da função nesse ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos determinar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor . A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor direção :
Sabemos que:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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