(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u. f(x, y) = 1 - x^2 + y^2, P(1, 1) e u = (1/2)(raiz(3) * i - j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão tem três partes:
  1. Encontrar o gradiente da função .
  2. Determinar o gradiente no ponto .
  3. Calcular a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja,
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente da função é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o gradiente no ponto . Basta substituir e na expressão do gradiente:

Passo 6

Por último, vamos calcular a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção :
Primeiro, vamos lembrar que já é um vetor unitário:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação da função no ponto na direção do vetor é .

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