(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto
dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão tem três partes:
- Encontrar o gradiente da função
. - Determinar o gradiente no ponto
. - Calcular a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja,
Então, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Então, o gradiente da função
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão do gradiente:
Passo 6
Por último, vamos calcular a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção
:
Primeiro, vamos lembrar que
já é um vetor unitário:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
é
.