Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é diferenciável. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar a continuidade da função e calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela está definida de duas formas:
  • Se , então
  • Se , então
Isso significa que a função tem duas expressões diferentes dependendo se o ponto está dentro ou fora do círculo de raio 1.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos checar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente na fronteira onde . A continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.

Passo 4

Analisando o limite de quando se aproxima da fronteira :
  • Dentro do círculo ( ), o denominador se aproxima de 0 por valores negativos, fazendo com que tende a . Logo, .
  • Fora do círculo ( ), diretamente.
Assim, o limite de na fronteira é 0, que coincide com o valor da função na fronteira. Portanto, é contínua em todos os pontos.

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de e ver se elas são contínuas na fronteira. As derivadas parciais envolvem derivar em relação a e .
Dentro do círculo ( ), derivamos a expressão usando a regra da cadeia. Fora do círculo, as derivadas são 0.
No entanto, ao tentar calcular as derivadas na fronteira, percebemos que elas não são contínuas ali, pois o comportamento da função dentro do círculo causa oscilações infinitas nas derivadas quando nos aproximamos da fronteira.

Resposta

A função não é diferenciável na fronteira onde .

Exercícios relacionados

Calcule e para .
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
Seja . Encontre , , prove que é diferenciável em e que e não são contínuas em .