Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b) f(x, y)=cce^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é diferenciável. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar a continuidade da função e calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y). Ela está definida de duas formas:
  • Se x^2 + y^2 < 1, então f(x, y) = e^(1x^2+y^2-1)
  • Se x^2 + y^2 >= 1, então f(x, y) = 0
Isso significa que a função tem duas expressões diferentes dependendo se o ponto (x, y) está dentro ou fora do círculo de raio 1.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos checar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente na fronteira onde x^2 + y^2 = 1. A continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.

Passo 4

Analisando o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima da fronteira x^2 + y^2 = 1:
  • Dentro do círculo ( x^2 + y^2 < 1), o denominador x^2 + y^2 - 1 se aproxima de 0 por valores negativos, fazendo com que 1x^2+y^2-1 tende a -infty. Logo, e^-infty = 0.
  • Fora do círculo ( x^2 + y^2 >= 1), f(x, y) = 0 diretamente.
Assim, o limite de f(x, y) na fronteira é 0, que coincide com o valor da função na fronteira. Portanto, f(x, y) é contínua em todos os pontos.

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de f(x, y) e ver se elas são contínuas na fronteira. As derivadas parciais envolvem derivar f(x, y) em relação a x e y.
Dentro do círculo ( x^2 + y^2 < 1), derivamos a expressão e^(1x^2+y^2-1) usando a regra da cadeia. Fora do círculo, as derivadas são 0.
No entanto, ao tentar calcular as derivadas na fronteira, percebemos que elas não são contínuas ali, pois o comportamento da função dentro do círculo causa oscilações infinitas nas derivadas quando nos aproximamos da fronteira.

Resposta

A função f(x, y) não é diferenciável na fronteira onde x^2 + y^2 = 1.

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