Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é diferenciável. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar a continuidade da função e calcular suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela está definida de duas formas:
- Se
, então - Se
, então
Isso significa que a função tem duas expressões diferentes dependendo se o ponto
está dentro ou fora do círculo de raio 1.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos checar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente na fronteira onde
. A continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.
Passo 4
Analisando o limite de
quando
se aproxima da fronteira
:
- Dentro do círculo (
), o denominador se aproxima de 0 por valores negativos, fazendo com que tende a . Logo, . - Fora do círculo (
), diretamente.
Assim, o limite de
na fronteira é 0, que coincide com o valor da função na fronteira. Portanto,
é contínua em todos os pontos.
Passo 5
Agora, vamos verificar as derivadas parciais de
e ver se elas são contínuas na fronteira. As derivadas parciais envolvem derivar
em relação a
e
.
Dentro do círculo (
), derivamos a expressão
usando a regra da cadeia. Fora do círculo, as derivadas são 0.
No entanto, ao tentar calcular as derivadas na fronteira, percebemos que elas não são contínuas ali, pois o comportamento da função dentro do círculo causa oscilações infinitas nas derivadas quando nos aproximamos da fronteira.
Resposta
A função
não é diferenciável na fronteira onde
.
Exercícios relacionados
Calcule
e
para
.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
c)
c)
Seja
. Encontre
,
, prove que
é diferenciável em
e que
e
não são contínuas em
.