Calcule partial fpartial u(x0, y0) onde:
(a) f(x, y)=x^2 e^y,(x0, y0)=(3,0) e u o versor de 3 i+4 j;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (x^2 e^y) = 2x e^y em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (x^2 e^y) = x^2 e^y em relação a , . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, formamos o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = ( 2x e^y, x^2 e^y ) , que é um vetor composto pelas derivadas parciais:

Passo 5

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto nabla f(3, 0) = ( 2 cdot 3 cdot e^0, 3^2 cdot e^0 ) = ( 6 cdot 1, 9 cdot 1 ) = (6, 9) :

Passo 6

O próximo passo é normalizar o vetor |u| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 para obter o vetor unitário na direção de uunitário = ( 35, 45 ) . A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor:
Então, o vetor unitário á é:
á

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional partial fpartial u(3, 0) = nabla f(3, 0) cdot uunitário = (6, 9) cdot ( 35, 45 ) fazendo o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:
= 6 cdot 35 + 9 cdot 45 = 185 + 365 = 545 = 10,8 á

Resposta

A derivada direcional no ponto é igual a .

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