Calcule onde:
(a) e o versor de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, formamos o gradiente de , que é um vetor composto pelas derivadas parciais:

Passo 5

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

O próximo passo é normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de . A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor:
Então, o vetor unitário á é:
á

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional fazendo o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:
á

Resposta

A derivada direcional no ponto é igual a .

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Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano .
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à função dada por
Faça e , calcule o laplaciano de em termos de e .
Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta ;
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse e em termos de e .
(施)