Calcule
onde:
(a)
e
o versor de
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, formamos o gradiente de
, que é um vetor composto pelas derivadas parciais:
Passo 5
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
O próximo passo é normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na direção de
. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional
fazendo o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional
no ponto
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano
.
(b) um plano tangente à superfície
Seja
aberto, uma função de classe
em
. Definimos o laplaciano de
à função dada por
à função
Faça
e
, calcule o laplaciano de
em termos de
e
.
Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta
;
(a) uma reta que seja tangente à curva
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
(施)
(施)