Determine:
(b) um plano tangente à superfície
e paralelo ao plano
.
(b) um plano tangente à superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um plano que seja tangente à superfície da esfera
e que seja paralelo ao plano
. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, mais especificamente com equações de planos e condições de tangência. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que dois planos são paralelos se eles tiverem os mesmos coeficientes nas variáveis
,
e
. Então, o plano que estamos procurando vai ter a mesma forma que o dado, ou seja,
, onde
é uma constante que a gente vai descobrir.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que esse plano seja tangente à esfera
. A esfera está centrada na origem
e tem raio
. A condição de tangência é que a distância entre o centro da esfera e o plano seja igual ao raio da esfera.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância entre um ponto
e um plano
, que é:
No nosso caso, o ponto é a origem
e o plano é
, que podemos reescrever como
.
Passo 5
Substituindo na fórmula da distância:
Essa distância precisa ser igual ao raio da esfera, que é
. Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Isso significa que
pode ser
ou
.
Resposta
Os planos tangentes são:
e
Exercícios relacionados
Seja
aberto, uma função de classe
em
. Definimos o laplaciano de
à função dada por
à função
Faça
e
, calcule o laplaciano de
em termos de
e
.
17-18 Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
17.
17.
Calcule
onde:
(a) e
o versor de
;
(a)
Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta
;
(a) uma reta que seja tangente à curva