Determine:
(b) um plano tangente à superfície x^2 + y^2 + z^2 = 10 e paralelo ao plano 2x + 2y + z = raiz(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um plano que seja tangente à superfície da esfera e que seja paralelo ao plano . Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, mais especificamente com equações de planos e condições de tangência. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que dois planos são paralelos se eles tiverem os mesmos coeficientes nas variáveis , e . Então, o plano que estamos procurando vai ter a mesma forma que o dado, ou seja, , onde é uma constante que a gente vai descobrir.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que esse plano seja tangente à esfera . A esfera está centrada na origem e tem raio . A condição de tangência é que a distância entre o centro da esfera e o plano seja igual ao raio da esfera.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano , que é:
â
No nosso caso, o ponto é a origem e o plano é , que podemos reescrever como .

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
Essa distância precisa ser igual ao raio da esfera, que é . Então:

Passo 6

Resolvendo para :
Isso significa que pode ser ou .

Resposta

Os planos tangentes são:
e

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