Seja aberto, uma função de classe em . Definimos o laplaciano de
à função dada por
Faça e , calcule o laplaciano de em termos de e .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que está definida em um conjunto aberto no plano e que é duas vezes continuamente diferenciável ( ). O Laplaciano dessa função, denotado por , é a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e :
O que o exercício quer é que a gente reescreva esse Laplaciano usando coordenadas polares, ou seja, em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo ). Para isso, vamos precisar usar a mudança de coordenadas e calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, lembremos como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Aqui, e é o ângulo que o ponto faz com o eixo .

Passo 3

Nosso objetivo é expressar o Laplaciano em termos de e . Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , mas agora em termos de e . Vamos usar a regra da cadeia para isso.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais de em relação a e :
Primeira derivada em relação a :
Sabendo que:
Então:
Primeira derivada em relação a :
Sabendo que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais necessárias para o Laplaciano. Precisamos de:
Mas, como queremos tudo em termos de e , precisamos expressar essas segundas derivadas usando as derivadas que já calculamos.

Passo 6

Para simplificar o processo, vamos utilizar a fórmula do Laplaciano em coordenadas polares, que já leva em consideração todas as derivadas necessárias. A fórmula é:
Isso significa que, ao mudar para coordenadas polares, o Laplaciano não é mais apenas a soma das segundas derivadas em e , mas inclui termos adicionais que levam em conta a geometria polar.

Passo 7

Vamos expandir a primeira parte da fórmula para entender melhor:
Portanto, substituindo na fórmula completa do Laplaciano, temos:

Resposta

O Laplaciano de em coordenadas polares é dado por:

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Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano .
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(a) e o versor de ;