Seja
aberto, uma função de classe
em
. Definimos o laplaciano de
à função
dada por
Faça
e
, calcule o laplaciano de
em termos de
e
.
à função
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que está definida em um conjunto aberto
no plano
e que é duas vezes continuamente diferenciável (
). O Laplaciano dessa função, denotado por
, é a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
:
O que o exercício quer é que a gente reescreva esse Laplaciano usando coordenadas polares, ou seja, em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). Para isso, vamos precisar usar a mudança de coordenadas e calcular as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, lembremos como transformar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Aqui,
e
é o ângulo que o ponto faz com o eixo
.
Passo 3
Nosso objetivo é expressar o Laplaciano
em termos de
e
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, mas agora em termos de
e
. Vamos usar a regra da cadeia para isso.
Passo 4
Vamos calcular as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
:
Primeira derivada em relação a
:
Sabendo que:
Então:
Primeira derivada em relação a
:
Sabendo que:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais necessárias para o Laplaciano. Precisamos de:
Mas, como queremos tudo em termos de
e
, precisamos expressar essas segundas derivadas usando as derivadas que já calculamos.
Passo 6
Para simplificar o processo, vamos utilizar a fórmula do Laplaciano em coordenadas polares, que já leva em consideração todas as derivadas necessárias. A fórmula é:
Isso significa que, ao mudar para coordenadas polares, o Laplaciano não é mais apenas a soma das segundas derivadas em
e
, mas inclui termos adicionais que levam em conta a geometria polar.
Passo 7
Vamos expandir a primeira parte da fórmula para entender melhor:
Portanto, substituindo na fórmula completa do Laplaciano, temos:
Resposta
O Laplaciano de
em coordenadas polares
é dado por:
Exercícios relacionados
17-18 Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
17.
17.
Se
é contínua em
e
é convergente então
é convergente. A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.
Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano
.
(b) um plano tangente à superfície
Calcule
onde:
(a) e
o versor de
;
(a)