Seja f: A longrightarrow R, A subset R^2 aberto, uma função de classe C^2 em A. Definimos o laplaciano de f
à função De dada por
De
Faça x=r cos theta e y=r sen theta, r>0, calcule o laplaciano de f em termos de r e theta.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função De que está definida em um conjunto aberto no plano e que é duas vezes continuamente diferenciável ( ). O Laplaciano dessa função, denotado por , é a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e :
O que o exercício quer é que a gente reescreva esse Laplaciano usando coordenadas polares, ou seja, em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo ). Para isso, vamos precisar usar a mudança de coordenadas e calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, lembremos como transformar as coordenadas cartesianas x = r cos theta para coordenadas polares y = r sin theta :
Aqui, e é o ângulo que o ponto faz com o eixo .

Passo 3

Nosso objetivo é expressar o Laplaciano em termos de e . Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , mas agora em termos de e . Vamos usar a regra da cadeia para isso.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais de partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r em relação a partial xpartial r = cos theta, partial ypartial r = sin theta e partial fpartial r = partial fpartial x cos theta + partial fpartial y sin theta :
Primeira derivada em relação a partial fpartial theta = partial fpartial x cdot partial xpartial theta + partial fpartial y cdot partial ypartial theta :
partial xpartial theta = -r sin theta, partial ypartial theta = r cos theta
Sabendo que:
partial fpartial theta = -partial fpartial x r sin theta + partial fpartial y r cos theta
Então:
Primeira derivada em relação a :
Sabendo que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais necessárias para o Laplaciano. Precisamos de:
partial^2 fpartial x^2 e partial^2 fpartial y^2
Mas, como queremos tudo em termos de e , precisamos expressar essas segundas derivadas usando as derivadas que já calculamos.

Passo 6

Para simplificar o processo, vamos utilizar a fórmula do Laplaciano em coordenadas polares, que já leva em consideração todas as derivadas necessárias. A fórmula é:
De
Isso significa que, ao mudar para coordenadas polares, o Laplaciano não é mais apenas a soma das segundas derivadas em e , mas inclui termos adicionais que levam em conta a geometria polar.

Passo 7

Vamos expandir a primeira parte da fórmula para entender melhor:
1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) = partial^2 fpartial r^2 + 1r partial fpartial r
Portanto, substituindo na fórmula completa do Laplaciano, temos:
De

Resposta

O Laplaciano de De em coordenadas polares é dado por:

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