Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva e paralela à reta ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que seja tangente à curva dada pela equação e que seja paralela à reta . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com curvas quadráticas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a inclinação das retas e as condições para que uma reta seja tangente a uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é a inclinação.
Então, a inclinação dessa reta é . Como a reta que buscamos deve ser paralela a essa, ela também terá a inclinação .

Passo 3

Agora, vamos considerar uma reta geral com inclinação . A equação dessa reta pode ser escrita como:
Aqui, é o coeficiente linear que precisamos determinar.

Passo 4

Para que essa reta seja tangente à curva , ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que, ao substituir na equação da curva, a equação resultante terá exatamente uma solução real para .
Vamos substituir na equação da curva:
Vamos simplificar essa equação.

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação acima:
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

A equação resultante é . Para que a reta seja tangente à curva, essa equação deve ter exatamente uma solução para . Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
No caso, a equação é:
Aqui, , (coeficiente de ), e .
O discriminante é dado por:
Para ter uma única solução, :

Passo 7

Encontramos que ou . Portanto, existem duas retas que satisfazem as condições dadas:
  1. Quando :
  1. Quando :

Resposta

As retas tangentes à curva e paralelas à reta são:

Exercícios relacionados

Calcule onde:
(a) e o versor de ;
Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano .
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse e em termos de e .
(施)
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
b-