Determine:
(a) uma reta que seja tangente à curva
e paralela à reta
;
(a) uma reta que seja tangente à curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que seja tangente à curva dada pela equação
e que seja paralela à reta
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com curvas quadráticas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a inclinação das retas e as condições para que uma reta seja tangente a uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta
. Para isso, vamos colocar a equação na forma
, onde
é a inclinação.
Então, a inclinação
dessa reta é
. Como a reta que buscamos deve ser paralela a essa, ela também terá a inclinação
.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma reta geral com inclinação
. A equação dessa reta pode ser escrita como:
Aqui,
é o coeficiente linear que precisamos determinar.
Passo 4
Para que essa reta seja tangente à curva
, ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que, ao substituir
na equação da curva, a equação resultante terá exatamente uma solução real para
.
Vamos substituir
na equação da curva:
Vamos simplificar essa equação.
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação acima:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
A equação resultante é
. Para que a reta seja tangente à curva, essa equação deve ter exatamente uma solução para
. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
No caso, a equação é:
Aqui,
,
(coeficiente de
), e
.
O discriminante
é dado por:
Para ter uma única solução,
:
Passo 7
Encontramos que
ou
. Portanto, existem duas retas que satisfazem as condições dadas:
- Quando
:
- Quando
:
Resposta
As retas tangentes à curva
e paralelas à reta
são:
Exercícios relacionados
Calcule
onde:
(a) e
o versor de
;
(a)
Determine:
(b) um plano tangente à superfície e paralelo ao plano
.
(b) um plano tangente à superfície
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
(施)
(施)
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de
.
b-
b-