Calcule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=e^x^7-y^2,(x0, y0)=(1,1) e u o versor de (3,4).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial de na direção do vetor no ponto . A função dada é . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção u = ( 3raiz3^2 + 4^2, 4raiz3^2 + 4^2 ) = ( 35, 45 ) . Ele é dado como o versor do vetor . Um versor é um vetor unitário na mesma direção do vetor original. Para encontrar , dividimos cada componente do vetor original pelo seu comprimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função partial fpartial x = 7x^6 e^x^7 - y^2 , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de partial fpartial y = -2y e^x^7 - y^2 em relação a e . As derivadas parciais são:

Passo 4

Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto partial fpartial xg|(1,1) = 7(1)^6 e^1^7 - 1^2 = 7e^0 = 7 :
partial fpartial yg|(1,1) = -2(1) e^0 = -2
Portanto, o gradiente no ponto é .

Passo 5

Finalmente, para encontrar a derivada parcial de partial fpartial u(1, 1) = nabla f(1, 1) cdot u = 7 cdot 35 + (-2) cdot 45 = 215 - 85 = 135 na direção de , calculamos o produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Resposta

partial fpartial u(1, 1) = 135

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