Resolva as seguintes inequações:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que envolve frações com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essa fração é positiva, negativa ou igual a zero. Isso envolve encontrar os valores de
que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero e, então, analisar os intervalos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores que tornam o numerador igual a zero. O numerador é
. Vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), não há raízes reais para o numerador. Isso significa que o numerador nunca é zero e, além disso, como o coeficiente de
é positivo, o numerador sempre será positivo para todo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador,
. Queremos encontrar os valores de
que tornam o denominador igual a zero:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
. Esses valores são pontos críticos onde a fração pode mudar de sinal ou ser indefinida.
Passo 4
Com os pontos críticos identificados (
e
), vamos dividir a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da fração em cada um deles. Os intervalos são:
Vamos verificar o sinal do denominador em cada intervalo, já que o numerador sempre é positivo.
-
Intervalo 1 (
): - Escolha
: - Denominador:
(positivo)
- Denominador:
- Escolha
-
Intervalo 2 (
): - Escolha
: - Denominador:
(negativo)
- Denominador:
- Escolha
-
Intervalo 3 (
): - Escolha
: - Denominador:
(positivo)
- Denominador:
- Escolha
Passo 5
Agora, sabemos que o numerador é sempre positivo. Portanto, o sinal da fração depende somente do sinal do denominador:
- Intervalo 1 (
): positivo / positivo = positivo - Intervalo 2 (
): positivo / negativo = negativo - Intervalo 3 (
): positivo / positivo = positivo
Além disso, nos pontos
e
, o denominador é zero, o que torna a fração indefinida nesses pontos.
Passo 6
Como queremos onde a fração é maior ou igual a zero (
), consideramos os intervalos onde a fração é positiva e também onde ela é igual a zero. Porém, como o numerador nunca é zero, apenas os intervalos positivos são válidos.
Portanto, os intervalos que satisfazem a inequação são:
Resposta
A solução da inequação é
ou
.