Resolva as seguintes inequações:
(e) (x² - x + 2) / (x² + 4x) ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que envolve frações com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essa fração é positiva, negativa ou igual a zero. Isso envolve encontrar os valores de que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero e, então, analisar os intervalos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores que tornam o numerador igual a zero. O numerador é . Vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não há raízes reais para o numerador. Isso significa que o numerador nunca é zero e, além disso, como o coeficiente de é positivo, o numerador sempre será positivo para todo .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador, . Queremos encontrar os valores de que tornam o denominador igual a zero:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são e . Esses valores são pontos críticos onde a fração pode mudar de sinal ou ser indefinida.

Passo 4

Com os pontos críticos identificados ( e ), vamos dividir a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da fração em cada um deles. Os intervalos são:
Vamos verificar o sinal do denominador em cada intervalo, já que o numerador sempre é positivo.
  • Intervalo 1 ( ):
    • Escolha :
      • Denominador: (positivo)
  • Intervalo 2 ( ):
    • Escolha :
      • Denominador: (negativo)
  • Intervalo 3 ( ):
    • Escolha :
      • Denominador: (positivo)

Passo 5

Agora, sabemos que o numerador é sempre positivo. Portanto, o sinal da fração depende somente do sinal do denominador:
  • Intervalo 1 ( ): positivo / positivo = positivo
  • Intervalo 2 ( ): positivo / negativo = negativo
  • Intervalo 3 ( ): positivo / positivo = positivo
Além disso, nos pontos e , o denominador é zero, o que torna a fração indefinida nesses pontos.

Passo 6

Como queremos onde a fração é maior ou igual a zero ( ), consideramos os intervalos onde a fração é positiva e também onde ela é igual a zero. Porém, como o numerador nunca é zero, apenas os intervalos positivos são válidos.
Portanto, os intervalos que satisfazem a inequação são:

Resposta

A solução da inequação é ou .

Exercícios relacionados