Calcule partial fpartial x e partial fpartial y, se f(x, y)=integral0^x y 2 t+1 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de f(x, y) = integral0^xy (2t + 1) , dt em relação a e . A função dada é:
Isso envolve cálculo integral e derivadas parciais, que são partes do cálculo diferencial. Vamos precisar saber como derivar uma integral que tem limites que dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral (2t + 1) , dt = t^2 + t + C . A integral de f(x, y) = [ t^2 + t ]0^xy = (xy)^2 + xy - (0 + 0) = x^2 y^2 + xy em relação a é:
Onde é a constante de integração. Mas como temos os limites de 0 a , aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 3

Agora que temos partial fpartial x = partialpartial x (x^2 y^2 + xy) = 2x y^2 + y , vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Lembrando que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y = partialpartial y (x^2 y^2 + xy) = 2x^2 y + x , . Aqui, tratamos como uma constante:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x y^2 + y e partial fpartial y = 2x^2 y + x

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