Considere a função . Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Usaremos a regra do quociente para derivar .
A regra do quociente diz que se , então .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que o denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. O numerador é , que é negativo.
Portanto, é sempre negativo para todos os valores de onde a função está definida (ou seja, ).

Passo 5

Se a derivada é negativa em todo o domínio da função, isso significa que a função está sempre decrescendo nesses intervalos.

Resposta

A função está sempre decrescendo para todos os valores de diferentes de 1. Portanto:
  • Intervalos de crescimento: Nenhum.
  • Intervalos de decrescimento: e .

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Determine , se .
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