Considere a função
. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Usaremos a regra do quociente para derivar
.
A regra do quociente diz que se
, então
.
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que o denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. O numerador é
, que é negativo.
Portanto,
é sempre negativo para todos os valores de
onde a função está definida (ou seja,
).
Passo 5
Se a derivada
é negativa em todo o domínio da função, isso significa que a função
está sempre decrescendo nesses intervalos.
Resposta
A função
está sempre decrescendo para todos os valores de
diferentes de 1. Portanto:
- Intervalos de crescimento: Nenhum.
- Intervalos de decrescimento:
e .
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, se
.
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, se
.
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