Calcule partial wpartial t e partial wpartial u pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.
a. w=x^2+y^2 ; x=t^2+u^2, y=2 t u.
b. w=xx^2+y^2 ; x=t cos u, y=t sin u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Depois, vamos conferir esses resultados aplicando substituições e as regras de derivação parcial diretamente. Vamos precisar entender a regra da cadeia para funções de várias variáveis e como aplicar derivadas parciais nessas situações. Vamos resolver as duas partes do exercício:

a.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos definido em termos de e , que por sua vez, são definidos em termos de e . Queremos encontrar e .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
partial wpartial t = partial wpartial x cdot partial xpartial t + partial wpartial y cdot partial ypartial t
partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individuais:
Para partial wpartial x = 2x e partial wpartial y = 2y :
partial xpartial t = 2t e partial xpartial u = 2u
Para partial ypartial t = 2u e partial ypartial u = 2t :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial wpartial t = 2x cdot 2t + 2y cdot 2u = 4xt + 4yu
partial wpartial u = 2x cdot 2u + 2y cdot 2t = 4xu + 4yt

Passo 6

Mas, como partial wpartial t = 4xt + 4(2tu)u = 4xt + 8tu^2 , podemos substituir isso nas expressões:
partial wpartial u = 4xu + 4(2tu)t = 4xu + 8t^2u

Passo 7

Agora, vamos conferir esses resultados calculando as derivadas parciais diretamente após substituir w = (t^2 + u^2)^2 + (2tu)^2 = t^4 + 2t^2u^2 + u^4 + 4t^2u^2 = t^4 + 6t^2u^2 + u^4 e partial wpartial t = 4t^3 + 12tu^2 em partial wpartial u = 12t^2u + 4u^3 .
Substituindo e em :
Calculando :
Calculando :

Passo 8

Comparando com as expressões que obtivemos usando a regra da cadeia:
4xt + 8tu^2 = 4(t^2 + u^2)t + 8tu^2 = 4t^3 + 4tu^2 + 8tu^2 = 4t^3 + 12tu^2
4xu + 8t^2u = 4(t^2 + u^2)u + 8t^2u = 4t^2u + 4u^3 + 8t^2u = 12t^2u + 4u^3
Os resultados são os mesmos, então está tudo certo!

b.

Passo 9

Vamos repetir o processo para a segunda parte. Aqui, é uma função de e , que dependem de e . Queremos encontrar e .

Passo 10

Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial wpartial t = partial wpartial x cdot partial xpartial t + partial wpartial y cdot partial ypartial t
partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u

Passo 11

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Para partial wpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 :
Primeiro, vamos usar a regra do quociente para derivar em relação a partial wpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2) - x(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2 e partial xpartial t = cos u e partial xpartial u = -t sin u :
partial ypartial t = sin u e partial ypartial u = t cos u
Para :
Para :

Passo 12

Substituindo essas derivadas na regra da cadeia:
partial wpartial t = ( -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 ) cdot cos u + ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) cdot sin u
partial wpartial u = ( -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 ) cdot (-t sin u) + ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) cdot t cos u

Passo 13

Simplificando as expressões:
Para partial wpartial t = (-x^2 + y^2) cos u - 2xy sin u(x^2 + y^2)^2 :
partial wpartial u = (-x^2 + y^2)(-t sin u) - 2xy t cos u(x^2 + y^2)^2 = t(x^2 - y^2) sin u - 2x y t cos u(x^2 + y^2)^2
Para :

Passo 14

Agora, vamos substituir x^2 + y^2 = t^2 cos^2 u + t^2 sin^2 u = t^2 (cos^2 u + sin^2 u) = t^2 e partial wpartial t = [-(t cos u)^2 + (t sin u)^2] cos u - 2(t cos u)(t sin u) sin ut^4 = [-t^2 cos^2 u + t^2 sin^2 u] cos u - 2t^2 cos u sin^2 ut^4 nas expressões acima:
Calculando = t^2 (-cos^2 u + sin^2 u) cos u - 2t^2 cos u sin^2 ut^4 = -t^2 cos^3 u + t^2 sin^2 u cos u - 2t^2 cos u sin^2 ut^4 = -t^2 cos^3 u - t^2 sin^2 u cos ut^4 :
= -cos u (t^2 cos^2 u + t^2 sin^2 u)t^4 = -cos u cdot t^2t^4 = -cos ut^2
Isso simplifica bastante as expressões, pois partial wpartial u = t[(t cos u)^2 - (t sin u)^2] sin u - 2(t cos u)(t sin u) t cos ut^4 = t(t^2 cos^2 u - t^2 sin^2 u) sin u - 2t^3 cos^2 u sin ut^4 .
Substituindo:
= t^3 (cos^2 u - sin^2 u) sin u - 2t^3 cos^2 u sin ut^4 = t^3 (cos^2 u sin u - sin^3 u) - 2t^3 cos^2 u sin ut^4 = t^3 (-cos^2 u sin u - sin^3 u)t^4
Simplificando:
= -t^3 (cos^2 u sin u + sin^3 u)t^4 = -(cos^2 u sin u + sin^3 u)t
= -sin u (cos^2 u + sin^2 u)t = -sin u cdot 1t = -sin ut
Para :
Simplificando:
Factorizando :

Passo 15

Agora, vamos conferir calculando as derivadas parciais diretamente após substituir w = t cos u(t cos u)^2 + (t sin u)^2 = t cos ut^2 (cos^2 u + sin^2 u) = t cos ut^2 = cos ut e partial wpartial t = partialpartial t ( cos ut ) = -cos ut^2 em partial wpartial u = partialpartial u ( cos ut ) = -sin ut .
Substituindo e em :
Agora, calculando as derivadas parciais diretamente:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais calculadas pela regra da cadeia coincidem com as obtidas através da derivação direta. Portanto:

a.

partial wpartial t = 4t^3 + 12t u^2 e partial wpartial u = 12t^2u + 4u^3

b.

partial wpartial t = -cos ut^2 e partial wpartial u = -sin ut

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