Calcule
e
pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.
a.
.
b.
.
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Depois, vamos conferir esses resultados aplicando substituições e as regras de derivação parcial diretamente. Vamos precisar entender a regra da cadeia para funções de várias variáveis e como aplicar derivadas parciais nessas situações. Vamos resolver as duas partes do exercício:
a.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos
definido em termos de
e
, que por sua vez, são definidos em termos de
e
. Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individuais:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Mas, como
, podemos substituir isso nas expressões:
Passo 7
Agora, vamos conferir esses resultados calculando as derivadas parciais diretamente após substituir
e
em
.
Substituindo
e
em
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 8
Comparando com as expressões que obtivemos usando a regra da cadeia:
Os resultados são os mesmos, então está tudo certo!
b.
Passo 9
Vamos repetir o processo para a segunda parte. Aqui,
é uma função de
e
, que dependem de
e
. Queremos encontrar
e
.
Passo 10
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 11
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Para
:
Primeiro, vamos usar a regra do quociente para derivar em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 12
Substituindo essas derivadas na regra da cadeia:
Passo 13
Simplificando as expressões:
Para
:
Para
:
Passo 14
Agora, vamos substituir
e
nas expressões acima:
Calculando
:
Isso simplifica bastante as expressões, pois
.
Substituindo:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Factorizando
:
Passo 15
Agora, vamos conferir calculando as derivadas parciais diretamente após substituir
e
em
.
Substituindo
e
em
:
Agora, calculando as derivadas parciais diretamente:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais calculadas pela regra da cadeia coincidem com as obtidas através da derivação direta. Portanto:
a.
b.
Exercícios relacionados
O gradiente de
é tangente à imagem da curva
em um ponto
com
. Considere a curva de nível de
que contém
. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto
.
Sejam
derivável e
dada por
. Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
a. O eixo está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
b. O ponto pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
c. As condições para que o plano seja o plano tangente ao gráfico de
em
são:
e
.
d. O plano tangente ao gráfico de nunca será paralelo ao plano
.
a. O eixo
b. O ponto
c. As condições para que o plano
d. O plano tangente ao gráfico de
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:
a. O cilindro e a superfície
.
b. O parabolóide e o cilindro parabólico
.
c. O cone e o plano
.
d. O cilindro e o plano
.
a. O cilindro
b. O parabolóide
c. O cone
d. O cilindro