Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:
a. O cilindro x^2 + y^2 = 4 e a superfície z = x y.
b. O parabolóide z = 4 x^2 + y^2 e o cilindro parabólico y = x^2.
c. O cone z = raiz(x^2 + y^2) e o plano z = 1 + y.
d. O cilindro x^2 + y^2 = 9 e o plano x + y = 2 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar parametrizações das curvas de intersecção entre diferentes superfícies. A gente vai trabalhar com cilindros, parabolóides, cones e planos. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, parametrizar curvas usando uma variável, geralmente chamada de ou , e entender como as diferentes equações se relacionam.

Passo 2

Parte a. Intersecção do cilindro e a superfície

Primeiro, vamos olhar para o cilindro . Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo . Para parametrizar essa curva, podemos usar coordenadas polares, definindo e , onde varia de a .
Agora, sabemos que . Substituindo e nas expressões paramétricas, temos:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica :

Passo 3

Parte b. Intersecção do parabolóide e o cilindro parabólico

Aqui, temos o parabolóide e o cilindro parabólico . Para encontrar a curva de intersecção, podemos substituir na equação do parabolóide:
Agora, temos em função de . Podemos escolher como nosso parâmetro :

Passo 4

Parte c. Intersecção do cone e o plano

Primeiro, observamos que o cone é dado por e o plano por . Para encontrar a intersecção, igualamos as duas expressões para :
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, temos , que relaciona e . Vamos escolher como parâmetro :
Para simplificar, podemos expressar em termos de garantindo que , ou seja, .

Passo 5

Parte d. Intersecção do cilindro e o plano

Temos o cilindro e o plano . Primeiro, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares:
Agora, substituímos e na equação do plano:

Resposta

A parametrização da curva de intersecção é:

Resumo Final

Encontramos as parametrizações das curvas de intersecção para cada par de superfícies:
a.
b.
c.
d.

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