Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:
a. O cilindro e a superfície .
b. O parabolóide e o cilindro parabólico .
c. O cone e o plano .
d. O cilindro e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar parametrizações das curvas de intersecção entre diferentes superfícies. A gente vai trabalhar com cilindros, parabolóides, cones e planos. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, parametrizar curvas usando uma variável, geralmente chamada de ou , e entender como as diferentes equações se relacionam.
Passo 2
Parte a. Intersecção do cilindro e a superfície
Primeiro, vamos olhar para o cilindro . Essa é a equação de um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo . Para parametrizar essa curva, podemos usar coordenadas polares, definindo e , onde varia de a .
Agora, sabemos que . Substituindo e nas expressões paramétricas, temos:
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica :
Passo 3
Parte b. Intersecção do parabolóide e o cilindro parabólico
Aqui, temos o parabolóide e o cilindro parabólico . Para encontrar a curva de intersecção, podemos substituir na equação do parabolóide:
Agora, temos em função de . Podemos escolher como nosso parâmetro :
Passo 4
Parte c. Intersecção do cone e o plano
Primeiro, observamos que o cone é dado por e o plano por . Para encontrar a intersecção, igualamos as duas expressões para :
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, temos , que relaciona e . Vamos escolher como parâmetro :
Para simplificar, podemos expressar em termos de garantindo que , ou seja, .
Passo 5
Parte d. Intersecção do cilindro e o plano
Temos o cilindro e o plano . Primeiro, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares:
Agora, substituímos e na equação do plano:
Resposta
A parametrização da curva de intersecção é:
Resumo Final
Encontramos as parametrizações das curvas de intersecção para cada par de superfícies: