Calcule partial wpartial x e partial wpartial y utilizando a regra da cadeia, sabendo que w=u senv v ; u=x^2+y^2 e v=x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Aqui, trabalharemos com funções compostas. As funções que temos são:
Vamos precisar da regra da cadeia para derivadas parciais e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial wpartial x = partial upartial x cdot sin(v) + u cdot partial sin(v)partial x . Usando a regra do produto, já que é produto de e , temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. partial sin(v)partial x = cos(v) cdot partial vpartial x (derivada de em relação a é )
  2. Para , aplicamos a regra da cadeia:
  1. E (derivada de em relação a é )

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de partial wpartial x = 2x cdot sin(v) + u cdot cos(v) cdot y :
Lembrando que e .

Passo 5

Agora, vamos calcular partial wpartial y = partial upartial y cdot sin(v) + u cdot partial sin(v)partial y da mesma forma:

Passo 6

Derivando cada parte:
  1. partial sin(v)partial y = cos(v) cdot partial vpartial y (derivada de em relação a é )
  2. Para :
  1. E (derivada de em relação a é )

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de partial wpartial y = 2y cdot sin(v) + u cdot cos(v) cdot x :
Novamente, lembrando que e .

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = 2x cdot sin(xy) + (x^2 + y^2) cdot cos(xy) cdot y
partial wpartial y = 2y cdot sin(xy) + (x^2 + y^2) cdot cos(xy) cdot x

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