Sabendo que u=e^y / x, x=2 r cos t e y=4 r sent, calcule partial upartial r e partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função onde e são dadas em termos de e : e . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a lidar com funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Então, para encontrar , precisamos ver como muda quando muda, mantendo fixo, e vice-versa para .

Passo 3

Vamos calcular partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r usando a regra da cadeia. A regra diz que:
Primeiro, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando u = e^yx partial upartial x = e^yx cdot ( -yx^2 ) = -yx^2 e^yx :

Passo 5

Calculando partial upartial y = e^yx cdot 1x = 1x e^yx :

Passo 6

Agora, vamos encontrar x = 2r cos t partial xpartial r = 2 cos t y = 4r sin t partial ypartial r = 4 sin t e :

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia para partial upartial r = ( -yx^2 e^yx ) cdot 2 cos t + ( 1x e^yx ) cdot 4 sin t :
x = 2r cos t y = 4r sin t yx = 4r sin t2r cos t = 2 tan t
Vamos simplificar isso substituindo partial upartial r = ( -4r sin t(2r cos t)^2 e^2 tan t ) cdot 2 cos t + ( 12r cos t e^2 tan t ) cdot 4 sin t e partial upartial r = ( -4r sin t4r^2 cos^2 t e^2 tan t ) cdot 2 cos t + ( 12r cos t e^2 tan t ) cdot 4 sin t = ( -sin tr cos^2 t e^2 tan t ) cdot 2 cos t + ( 2 sin tr cos t e^2 tan t ) = -2 sin tr cos t e^2 tan t + 2 sin tr cos t e^2 tan t = 0 pelas expressões em e :
Então:
Simplificando mais:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t usando a regra da cadeia:
Primeiro, precisamos calcular e .

Passo 9

Calculando x = 2r cos t partial xpartial t = -2r sin t y = 4r sin t partial ypartial t = 4r cos t e :

Passo 10

Substituindo na fórmula da regra da cadeia para partial upartial t = ( -yx^2 e^yx ) cdot (-2r sin t) + ( 1x e^yx ) cdot 4r cos t :
partial upartial t = ( -4r sin t(2r cos t)^2 e^2 tan t ) cdot (-2r sin t) + ( 12r cos t e^2 tan t ) cdot 4r cos t
Usando partial upartial t = ( -4r sin t4r^2 cos^2 t e^2 tan t ) cdot (-2r sin t) + ( 4r cos t2r cos t e^2 tan t ) = ( -sin tr cos^2 t e^2 tan t ) cdot (-2r sin t) + 2 e^2 tan t = 2 r sin^2 tr cos^2 t e^2 tan t + 2 e^2 tan t = ( 2 sin^2 tcos^2 t + 2 ) e^2 tan t = ( 2 tan^2 t + 2 ) e^2 tan t = 2 ( tan^2 t + 1 ) e^2 tan t = 2 sec^2 t , e^2 tan t e substituindo e :
Simplificando:

Resposta

partial upartial r = 0 e partial upartial t = 2 sec^2 t , e^2 tan t

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