Sabendo que
e
sent, calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
onde
e
são dadas em termos de
e
:
e
. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a lidar com funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Então, para encontrar
, precisamos ver como
muda quando
muda, mantendo
fixo, e vice-versa para
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A regra diz que:
Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia para
:
Vamos simplificar isso substituindo
e
pelas expressões em
e
:
Então:
Simplificando mais:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Primeiro, precisamos calcular
e
.
Passo 9
Calculando
e
:
Passo 10
Substituindo na fórmula da regra da cadeia para
:
Usando
e substituindo
e
:
Simplificando: