Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis. f(x, y)=integralx^y ln sen t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis, f(x, y) = integralx^y ln(sen t) , dt e , definida por uma integral:
Nossa missão é encontrar as derivadas dessa função em relação a e a . Para isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais cujos limites dependem da variável que estamos derivando.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar partial fpartial x = -ln(sen x) em relação a . Segundo a Regra de Leibniz, quando derivamos uma integral com o limite inferior variando, a derivada é igual a menos a função dentro da integral avaliada nesse limite. Ou seja:
Isso significa que, ao aumentar , a parte da integral que está abaixo de diminui, por isso o sinal negativo.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial fpartial y = ln(sen y) em relação a . Pela mesma Regra de Leibniz, quando derivamos uma integral com o limite superior variando, a derivada é igual à função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:
Aqui, ao aumentar , a área da integral acima de aumenta, refletindo positivamente na derivada.

Resposta

As derivadas da função partial fpartial x = -ln(sen x) são:

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