Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas de uma função
em relação às suas variáveis
e
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em somas. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é uma soma dos termos
para
indo de 0 até
. Isso significa que cada termo na soma é uma potência da expressão
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
e depois em relação a
. Essas são chamadas de derivadas parciais porque a função depende de duas variáveis.
Vamos começar encontrando a derivada em relação a
, ou seja,
.
Passo 4
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da derivada de uma soma, que nos permite derivar cada termo individualmente. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar cada termo
em relação a
. A regra da cadeia nos diz que:
No nosso caso,
. Vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 7
De forma similar, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra da derivada da soma:
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para derivar cada termo
em relação a
:
Calculamos
:
Passo 9
Substituindo na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e