Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis. g(t, v)=sumi=0^n(t^2+2 t v-v^2)^i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas de uma função g(t, v) = sumi=0^n (t^2 + 2 t v - v^2)^i em relação às suas variáveis e . A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em somas. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma soma dos termos para indo de 0 até . Isso significa que cada termo na soma é uma potência da expressão .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a e depois em relação a . Essas são chamadas de derivadas parciais porque a função depende de duas variáveis.
Vamos começar encontrando a derivada em relação a , ou seja, .

Passo 4

Para derivar partial gpartial t = sumi=0^n partialpartial t (t^2 + 2 t v - v^2)^i em relação a , usamos a regra da derivada de uma soma, que nos permite derivar cada termo individualmente. Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar cada termo partialpartial t (f(t, v))^i = i (f(t, v))^i-1 cdot partial fpartial t em relação a partial fpartial t = 2t + 2v . A regra da cadeia nos diz que:
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial gpartial t = sumi=0^n i (t^2 + 2 t v - v^2)^i-1 cdot (2t + 2v)

Passo 7

De forma similar, vamos encontrar a derivada de partial gpartial v = sumi=0^n partialpartial v (t^2 + 2 t v - v^2)^i em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra da derivada da soma:

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para derivar cada termo partialpartial v (f(t, v))^i = i (f(t, v))^i-1 cdot partial fpartial v em relação a partial fpartial v = 2t - 2v :
Calculamos :

Passo 9

Substituindo na expressão da derivada:
partial gpartial v = sumi=0^n i (t^2 + 2 t v - v^2)^i-1 cdot (2t - 2v)

Resposta

As derivadas parciais da função partial gpartial t = sumi=0^n i (t^2 + 2 t v - v^2)^i-1 cdot (2t + 2v) são:
partial gpartial v = sumi=0^n i (t^2 + 2 t v - v^2)^i-1 cdot (2t - 2v)
e

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