Seja w = x^2 + y^2 - z^2, x = rho * sen(phi) * cos(theta), y = rho * sen(phi) * sen(theta) e z = rho * cos(phi). Calcule w_rho, w_phi e w_theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e expressões para , e em coordenadas esféricas. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar expressões em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de , e na função :

Passo 3

Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Perceba que , então:
Simplificando mais:

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas parciais.
Para :
Para :
Para :
Observa que, após simplificar, não depende de , então:

Resposta

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