Seja
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e expressões para
,
e
em coordenadas esféricas. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar expressões em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de
,
e
na função
:
Passo 3
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Perceba que , então:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas parciais.
Para
:
Para
:
Para
:
Observa que, após simplificar,
não depende de
, então: