Suponha que as funções e sejam deriváveis e que .
(a) Se , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente tem a função e precisa mostrar que . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois combinar elas conforme a expressão que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto, já que é o produto de e :
A derivada de em relação a é . Agora, para a segunda parte, usamos a regra da cadeia. Se , então . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:
A derivada de em relação a é . Para a segunda parte, usando a regra da cadeia novamente com , temos:
Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos multiplicar cada uma pela sua respectiva variável e somar:
Vamos distribuir e :
Perceba que os termos envolvendo se cancelam:
Então, sobra:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Considere duas funções reais e e sejam e . Admitindo a existência das derivadas envolvidas, deduza que
Calcule nos seguintes casos:
(d) e
Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
(g)
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.