Suponha que as funções e sejam deriváveis e que .
(a) Se , mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente tem a função e precisa mostrar que . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois combinar elas conforme a expressão que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto, já que é o produto de e :
A derivada de em relação a é . Agora, para a segunda parte, usamos a regra da cadeia. Se , então . Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:
A derivada de em relação a é . Para a segunda parte, usando a regra da cadeia novamente com , temos:
Então:
Passo 4
Agora que temos e , vamos multiplicar cada uma pela sua respectiva variável e somar: