Suponha que as funções phi e psi sejam deriváveis e que phi'(1) = 4.
(a) Se f(x, y) = (x^2 + y^2) psi(x / y), mostre que x f_x(x, y) + y f_y(x, y) = 2 f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente tem a função e precisa mostrar que . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois combinar elas conforme a expressão que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto, já que é o produto de e :
A derivada de em relação a é . Agora, para a segunda parte, usamos a regra da cadeia. Se , então . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:
A derivada de em relação a é . Para a segunda parte, usando a regra da cadeia novamente com , temos:
Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos multiplicar cada uma pela sua respectiva variável e somar:
Vamos distribuir e :
Perceba que os termos envolvendo se cancelam:
Então, sobra:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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