Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar os pontos de máximos, mínimos ou de inflexão dela. Isso faz parte de Cálculo, mais especificamente do estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a inclinação da curva é zero.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos.
Vamos simplificar dividindo toda a equação por 3:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função, se é para cima ou para baixo, ajudando a determinar a natureza dos pontos críticos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso significa que a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que
é um ponto de máximo.
Para
:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos substituindo
e
na função original.
Para
:
Então, o ponto de máximo é
.
Para
:
Então, o ponto de mínimo é
.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
Exercícios relacionados
Calcule
sabendo que
e
.
Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e
Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e
.
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cartesianas (retangulares), encontre suas coordenadas cilindricas.