Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão. y = x^3 - 6 x^2 + 9 x + 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar os pontos de máximos, mínimos ou de inflexão dela. Isso faz parte de Cálculo, mais especificamente do estudo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a inclinação da curva é zero.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a primeira derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos.
Vamos simplificar dividindo toda a equação por 3:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 4

Para saber se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função, se é para cima ou para baixo, ajudando a determinar a natureza dos pontos críticos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como , isso significa que a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando que é um ponto de máximo.
Para :
Como , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos substituindo e na função original.
Para :
Então, o ponto de máximo é .
Para :
Então, o ponto de mínimo é .

Resposta

A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

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