Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar (esboçar) a região descrita em coordenadas polares pelas desigualdades
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como interpretar coordenadas polares e como representar condições para os ângulos (
) e para a distância radial (
).
Passo 2
Primeiro, lembremos que em coordenadas polares, cada ponto é representado por um par
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que a linha que une o ponto à origem faz com o eixo positivo .
As desigualdades dadas nos fornecem limites para esses dois valores.
Passo 3
Vamos analisar a condição para
:
Isso significa que o ângulo
varia entre
(já que
radianos é igual a
) e
(pois
radianos é igual a
). Portanto, estamos considerando apenas os pontos que estão entre esses dois ângulos em relação ao eixo positivo
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a condição de
:
Isso indica que a distância do ponto à origem está entre 1 e 2 unidades. Em termos gráficos, isso corresponde a uma “areia” ou “anel” que vai desde um círculo de raio 1 até um círculo de raio 2, ambos centrados na origem.
Passo 5
Combinando as duas condições, a região que queremos esboçar é a parte do anel que está entre os ângulos de
e
. Ou seja, não vamos considerar todo o anel completo, mas apenas uma fatia dele.
Passo 6
Para esboçar a região:
- Desenhe dois círculos concêntricos com raios 1 e 2.
- A partir da origem, trace duas linhas que fazem ângulos de
e com o eixo positivo . - A região desejada é a área do anel que está entre essas duas linhas angulares.
Resposta
A região descrita é uma fatia de anel centrada na origem, limitada pelos círculos de raio 1 e 2, e compreendida entre os ângulos
e
em coordenadas polares.
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Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão.
Calcule
sabendo que
e
.
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cartesianas (retangulares), encontre suas coordenadas cilindricas.
Esboçe o sólido descrito por: Em coordenadas esféricas:
.