(a) Calcule
se
e
.
(b) A imagem da curva
está contida no gráfico de
. Sabe-se que
. Determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
© Seja
. Verifique que
.
(d) Admita que
Prove que
é constante sobre a elipse
.
(b) A imagem da curva
© Seja
(d) Admita que
Passo 1
Beleza, vamos começar com a parte (a). A questão pede pra gente calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, dado que
, com
e
. Isso está no âmbito de cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. Substituindo
e
na expressão de
:
Agora, podemos calcular as derivadas parciais
e
diretamente.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Primeiro, derivamos cada termo em relação a
:
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). A questão nos dá uma curva
que está contida no gráfico de
. Sabemos os valores de
e suas derivadas parciais no ponto
. Queremos encontrar a equação da reta tangente a
no ponto
.
Isso envolve entender derivadas de curvas e retas tangentes em gráficos de funções multivariáveis.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Como
está no gráfico de
, temos:
No ponto
:
Então,
.
Passo 6
A reta tangente à curva
no ponto
é dada por:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
No
:
Passo 7
Então, a reta tangente é:
Isso pode ser escrito parametricamente como:
Passo 8
Seguimos para a parte ©. Temos
e precisamos verificar que
.
Isso envolve usar a regra da cadeia novamente para derivadas parciais.
Passo 9
Vamos definir:
Então:
Agora, calculamos
e
usando a regra da cadeia.
Passo 10
Primeiro,
partial zpartial u = partial fpartial a cdot partial apartial u + partial fpartial b cdot partial bpartial u :
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 11
Agora,
partial zpartial v = partial fpartial a cdot partial apartial v + partial fpartial b cdot partial bpartial v :
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 12
Somando
partial zpartial u + partial zpartial v = ( partial fpartial a - partial fpartial b ) + ( -partial fpartial a + partial fpartial b ) = 0 e
:
Passo 13
Vamos para a parte (d). Temos a equação:
Precisamos provar que
é constante sobre a elipse
.
Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial ou usar métodos de características.
Passo 14
Primeiro, observamos que a equação dada pode ser escrita como:
Onde
e
.
Isso sugere que ao longo de certas trajetórias no plano
,
permanece constante.
Passo 15
Para encontrar as características, resolvemos o sistema de equações:
A última igualdade implica que
é constante ao longo das características.
Passo 16
Resolvendo
x , dx + 4y , dy = 0 :
Multiplicando cruzado:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Isso representa a equação de uma elipse:
Passo 17
Na elipse dada
, temos
. Portanto,
é constante ao longo dessa elipse.
Resposta
Foi provado que
é constante sobre a elipse
.