(a) Calcule se e .
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de . Sabe-se que . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
© Seja . Verifique que .
(d) Admita que
Prove que é constante sobre a elipse .

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). A questão pede pra gente calcular as derivadas parciais de em relação a e , dado que , com e . Isso está no âmbito de cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e . Substituindo e na expressão de :
Agora, podemos calcular as derivadas parciais e diretamente.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :
Primeiro, derivamos cada termo em relação a :
Somando os dois resultados:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A questão nos dá uma curva que está contida no gráfico de . Sabemos os valores de e suas derivadas parciais no ponto . Queremos encontrar a equação da reta tangente a no ponto .
Isso envolve entender derivadas de curvas e retas tangentes em gráficos de funções multivariáveis.

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Como está no gráfico de , temos:
No ponto :
Então, .

Passo 6

A reta tangente à curva no ponto é dada por:
Primeiro, calculamos a derivada de :
No :

Passo 7

Então, a reta tangente é:
Isso pode ser escrito parametricamente como:

Passo 8

Seguimos para a parte ©. Temos e precisamos verificar que .
Isso envolve usar a regra da cadeia novamente para derivadas parciais.

Passo 9

Vamos definir:
Então:
Agora, calculamos e usando a regra da cadeia.

Passo 10

Primeiro, :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 11

Agora, :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 12

Somando e :

Passo 13

Vamos para a parte (d). Temos a equação:
Precisamos provar que é constante sobre a elipse .
Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial ou usar métodos de características.

Passo 14

Primeiro, observamos que a equação dada pode ser escrita como:
Onde e .
Isso sugere que ao longo de certas trajetórias no plano , permanece constante.

Passo 15

Para encontrar as características, resolvemos o sistema de equações:
A última igualdade implica que é constante ao longo das características.

Passo 16

Resolvendo :
Multiplicando cruzado:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante.
Isso representa a equação de uma elipse:

Passo 17

Na elipse dada , temos . Portanto, é constante ao longo dessa elipse.

Resposta

Foi provado que é constante sobre a elipse .

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