(a) Calcule partial zpartial u e partial zpartial v se z=x^2+y^2, x=u sin v e y=v cos v.
(b) A imagem da curva gamma(t)=(2 t, t^2, z(t)) está contida no gráfico de z=f(x, y). Sabe-se que f(2,1)=3, partial fpartial x(2,1)=1, partial fpartial y(2,1)=-1. Determine a equação da reta tangente a gamma no ponto gamma(1).
© Seja z=f(u-v, v-u). Verifique que partial zpartial u+partial zpartial v=0.
(d) Admita que
4 y partial fpartial x-x partial fpartial y=0, forall(x, y) in R^2
Prove que f é constante sobre a elipse x^24+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). A questão pede pra gente calcular as derivadas parciais de em relação a e , dado que , com e . Isso está no âmbito de cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z = (u sin v)^2 + (v cos v)^2 em termos de e . Substituindo e na expressão de :
Agora, podemos calcular as derivadas parciais e diretamente.

Passo 3

Calculando partial zpartial u = 2u sin v :
partialpartial v(u sin v)^2 = 2(u sin v)(u cos v) = 2u^2 sin v cos v
Agora, calculando partialpartial v(v cos v)^2 = 2(v cos v)(cos v - v sin v) = 2v cos^2 v - 2v^2 sin v cos v :
Primeiro, derivamos cada termo em relação a partial zpartial v = 2u^2 sin v cos v + 2v cos^2 v - 2v^2 sin v cos v :
Somando os dois resultados:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A questão nos dá uma curva que está contida no gráfico de . Sabemos os valores de e suas derivadas parciais no ponto . Queremos encontrar a equação da reta tangente a no ponto .
Isso envolve entender derivadas de curvas e retas tangentes em gráficos de funções multivariáveis.

Passo 5

Primeiro, calculamos gamma(1) = (2 cdot 1, 1^2, z(1)) = (2, 1, z(1)) :
z(t) = f(2t, t^2)
Como z(1) = f(2, 1) = 3 está no gráfico de , temos:
No ponto :
Então, .

Passo 6

A reta tangente à curva r(s) = gamma(1) + s cdot gamma'(1) no ponto gamma'(t) = ( ddt(2t), ddt(t^2), ddtf(2t, t^2) ) = ( 2, 2t, partial fpartial x cdot 2 + partial fpartial y cdot 2t ) é dada por:
gamma'(1) = ( 2, 2, 2 cdot 1 + (-1) cdot 2 cdot 1 ) = (2, 2, 0)
Primeiro, calculamos a derivada de :
No :

Passo 7

Então, a reta tangente é:
r(s) = (2, 1, 3) + s(2, 2, 0)
Isso pode ser escrito parametricamente como:
x = 2 + 2s y = 1 + 2s z = 3

Passo 8

Seguimos para a parte ©. Temos e precisamos verificar que .
Isso envolve usar a regra da cadeia novamente para derivadas parciais.

Passo 9

Vamos definir:
a = u - v b = v - u
Então:
z = f(a, b)
Agora, calculamos e usando a regra da cadeia.

Passo 10

Primeiro, partial zpartial u = partial fpartial a cdot partial apartial u + partial fpartial b cdot partial bpartial u :
partial apartial u = 1 partial bpartial u = -1
Calculando as derivadas:
partial zpartial u = partial fpartial a cdot 1 + partial fpartial b cdot (-1) = partial fpartial a - partial fpartial b
Então:

Passo 11

Agora, partial zpartial v = partial fpartial a cdot partial apartial v + partial fpartial b cdot partial bpartial v :
partial apartial v = -1 partial bpartial v = 1
Calculando as derivadas:
partial zpartial v = partial fpartial a cdot (-1) + partial fpartial b cdot 1 = -partial fpartial a + partial fpartial b
Então:

Passo 12

Somando partial zpartial u + partial zpartial v = ( partial fpartial a - partial fpartial b ) + ( -partial fpartial a + partial fpartial b ) = 0 e :

Passo 13

Vamos para a parte (d). Temos a equação:
4y partial fpartial x - x partial fpartial y = 0, forall (x, y) in R^2
Precisamos provar que é constante sobre a elipse .
Isso envolve resolver uma equação diferencial parcial ou usar métodos de características.

Passo 14

Primeiro, observamos que a equação dada pode ser escrita como:
4y fx - x fy = 0
Onde e .
Isso sugere que ao longo de certas trajetórias no plano , permanece constante.

Passo 15

Para encontrar as características, resolvemos o sistema de equações:
dx4y = dy-x = df0
A última igualdade implica que é constante ao longo das características.

Passo 16

Resolvendo x , dx + 4y , dy = 0 :
Multiplicando cruzado:
x^22 + 2y^2 = C
Integrando ambos os lados:
x^24 + y^2 = C4
Onde é uma constante.
Isso representa a equação de uma elipse:

Passo 17

Na elipse dada , temos . Portanto, é constante ao longo dessa elipse.

Resposta

Foi provado que é constante sobre a elipse .

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