Seja uma função satisfazendo
Mostre que é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que satisfaz a condição para todo ponto no espaço tridimensional. Nosso objetivo é mostrar que essa função é diferenciável em .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como usar a condição dada para provar isso. Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Matematicamente, isso significa que:
onde é o diferencial da função em e representa termos que vão para zero mais rápido que quando tende a zero.
No nosso caso, e será mostrado ser zero porque , o que implica .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada: . Isso nos dá um controle sobre o crescimento da função perto de .
Queremos mostrar que:
Como e assumindo que o diferencial também é zero (o que vamos verificar), a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular esse limite usando a desigualdade dada. Sabemos que:
Então, dividindo ambos os lados por , obtemos:
À medida que tende a , também tende a zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta), já que:
E sabemos que quando , então pelo teorema, o limite também é zero.

Passo 6

Como o limite:
Isso satisfaz a condição para ser diferenciável em com o diferencial .

Resposta

Portanto, é diferenciável em .

Exercícios relacionados

Use o teorema do valor Intermediário para mostrar que existe uma solução para a equação Dica: Pense no intervalo .
Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© não é diferenciável em .
(a) Calcule se e .
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de . Sabe-se que . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
© Seja . Verifique que .
(d) Admita que
Prove que é constante sobre a elipse .
Use a regra do quociente para calcular a derivada de