Seja f: R^3 -> R uma função satisfazendo
|f(x, y, z)| <= x^2 + y^2 + z^2, para todo (x, y, z) pertencente a R^3.
Mostre que f é diferenciável em (0, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que satisfaz a condição para todo ponto no espaço tridimensional. Nosso objetivo é mostrar que essa função é diferenciável em .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como usar a condição dada para provar isso. Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Matematicamente, isso significa que:
onde é o diferencial da função em e representa termos que vão para zero mais rápido que quando tende a zero.
No nosso caso, e será mostrado ser zero porque , o que implica .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada: . Isso nos dá um controle sobre o crescimento da função perto de .
Queremos mostrar que:
Como e assumindo que o diferencial também é zero (o que vamos verificar), a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular esse limite usando a desigualdade dada. Sabemos que:
Então, dividindo ambos os lados por , obtemos:
À medida que tende a , também tende a zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta), já que:
E sabemos que quando , então pelo teorema, o limite também é zero.

Passo 6

Como o limite:
Isso satisfaz a condição para ser diferenciável em com o diferencial .

Resposta

Portanto, é diferenciável em .

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