Seja
uma função satisfazendo
Mostre que
é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que satisfaz a condição
para todo ponto
no espaço tridimensional. Nosso objetivo é mostrar que essa função é diferenciável em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como usar a condição dada para provar isso. Vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função
é diferenciável em um ponto
se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Matematicamente, isso significa que:
onde
é o diferencial da função em
e
representa termos que vão para zero mais rápido que
quando
tende a zero.
No nosso caso,
e
será mostrado ser zero porque
, o que implica
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição dada:
. Isso nos dá um controle sobre o crescimento da função perto de
.
Queremos mostrar que:
Como
e assumindo que o diferencial
também é zero (o que vamos verificar), a expressão simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular esse limite usando a desigualdade dada. Sabemos que:
Então, dividindo ambos os lados por
, obtemos:
À medida que
tende a
,
também tende a zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta), já que:
E sabemos que
quando
, então pelo teorema, o limite também é zero.
Passo 6
Como o limite:
Isso satisfaz a condição para
ser diferenciável em
com o diferencial
.
Resposta
Portanto,
é diferenciável em
.