Use o teorema do valor Intermediário para mostrar que existe uma solução para a equação
Dica: Pense no intervalo
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos mostrar que existe um número
no intervalo
que satisfaz a equação
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de soluções para equações quando uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função relacionada à equação dada. Vamos chamar:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar os valores de
nos extremos do nosso intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que:
Ou seja,
e
. Isso significa que a função
passa de negativo para positivo no intervalo
.
Passo 5
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo
em algum ponto entre eles.
Como nossa função
é composta por funções contínuas (raízes quadradas e cúbicas são contínuas onde estão definidas) e
enquanto
, existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma solução
no intervalo
que satisfaz a equação
.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Mostre que:
(a) e
existem.
(b) e
não são contínuas em
.
© não é diferenciável em
.
(a)
(b)
©
Dada a função
, com
, determine:
(a) A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que decresce mais rapidamente no ponto
.
© As direções em que a derivada direcional de no ponto
tem valor 1.
(a) A direção e sentido em que
(b) A direção e sentido em que
© As direções em que a derivada direcional de
Seja
uma função satisfazendo
Mostre que
é diferenciável em
.
(a) Calcule
se
e
.
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de
. Sabe-se que
. Determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
© Seja . Verifique que
.
(d) Admita que
(b) A imagem da curva
© Seja
(d) Admita que
Prove que
é constante sobre a elipse
.