Use o teorema do valor Intermediário para mostrar que existe uma solução para a equação Dica: Pense no intervalo .

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos mostrar que existe um número no intervalo que satisfaz a equação . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de soluções para equações quando uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função relacionada à equação dada. Vamos chamar:
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Agora, precisamos verificar os valores de nos extremos do nosso intervalo, ou seja, em e .
Para :
Para :

Passo 4

Observamos que:
Ou seja, e . Isso significa que a função passa de negativo para positivo no intervalo .

Passo 5

O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo em algum ponto entre eles.
Como nossa função é composta por funções contínuas (raízes quadradas e cúbicas são contínuas onde estão definidas) e enquanto , existe pelo menos um valor em tal que .

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma solução no intervalo que satisfaz a equação .

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Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© não é diferenciável em .
Dada a função , com , determine:
(a) A direção e sentido em que cresce mais rapidamente no ponto (1,0).
(b) A direção e sentido em que decresce mais rapidamente no ponto .
© As direções em que a derivada direcional de no ponto tem valor 1.
Seja uma função satisfazendo
Mostre que é diferenciável em .
(a) Calcule se e .
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de . Sabe-se que . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
© Seja . Verifique que .
(d) Admita que
Prove que é constante sobre a elipse .