Verifique se existe (m) ponto(s) na esfera tal que o plano tangente a neste(s) ponto(s) seja paralelo ao plano . Caso exista(m), determine-o(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existem pontos na esfera onde o plano tangente à esfera nesse ponto é paralelo ao plano . Se existir(m) ponto(s), a gente precisa descobrir quais são. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos tangentes a superfícies e condições para planoss serem paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma esfera em um ponto específico tem como vetor normal o vetor posição desse ponto. No caso da esfera , se temos um ponto nela, o vetor normal ao plano tangente nesse ponto é justamente .

Passo 3

Agora, para dois planos serem paralelos, os vetores normais deles devem ser proporcionais, ou seja, um é um múltiplo escalar do outro. O plano dado no problema é , e o vetor normal dele é .

Passo 4

Então, queremos que o vetor normal do plano tangente à esfera, que é , seja proporcional ao vetor normal do plano dado, que é . Isso significa que existe um número tal que:
Ou seja:

Passo 5

Como o ponto está na esfera , ele deve satisfazer a equação da esfera:
Substituindo os valores de , e em função de :

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Com os valores de , podemos encontrar os pontos :
Para :
Para :

Resposta

Existem dois pontos na esfera onde o plano tangente é paralelo ao plano . Esses pontos são:

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Use a regra do quociente para calcular a derivada de
(a) Calcule se e .
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de . Sabe-se que . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
© Seja . Verifique que .
(d) Admita que
Prove que é constante sobre a elipse .
Considere a função dada por
Mostre que .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:
(a) em
(b) em
© em