Verifique se existe (m) ponto(s) na esfera S: x^2 + y^2 + z^2 = 1 tal que o plano tangente a S neste(s) ponto(s) seja paralelo ao plano 3x - y + z = 7. Caso exista(m), determine-o(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existem pontos na esfera S: x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde o plano tangente à esfera nesse ponto é paralelo ao plano . Se existir(m) ponto(s), a gente precisa descobrir quais são. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos tangentes a superfícies e condições para planoss serem paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma esfera em um ponto específico tem como vetor normal o vetor posição desse ponto. No caso da esfera S, se temos um ponto (x, y, z) nela, o vetor normal ao plano tangente nesse ponto é justamente (x, y, z).

Passo 3

Agora, para dois planos serem paralelos, os vetores normais deles devem ser proporcionais, ou seja, um é um múltiplo escalar do outro. O plano dado no problema é , e o vetor normal dele é .

Passo 4

Então, queremos que o vetor normal do plano tangente à esfera, que é (x, y, z), seja proporcional ao vetor normal do plano dado, que é . Isso significa que existe um número k tal que:
Ou seja:

Passo 5

Como o ponto (x, y, z) está na esfera S, ele deve satisfazer a equação da esfera:
Substituindo os valores de x, y e z em função de k:

Passo 6

Agora, vamos resolver para k:

Passo 7

Com os valores de k, podemos encontrar os pontos (x, y, z):
Para :
Para :

Resposta

Existem dois pontos na esfera S onde o plano tangente é paralelo ao plano . Esses pontos são:

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