Verifique se existe (m) ponto(s) na esfera
tal que o plano tangente a
neste(s) ponto(s) seja paralelo ao plano
. Caso exista(m), determine-o(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existem pontos na esfera
onde o plano tangente à esfera nesse ponto é paralelo ao plano
. Se existir(m) ponto(s), a gente precisa descobrir quais são. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos tangentes a superfícies e condições para planoss serem paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma esfera em um ponto específico tem como vetor normal o vetor posição desse ponto. No caso da esfera
, se temos um ponto
nela, o vetor normal ao plano tangente nesse ponto é justamente
.
Passo 3
Agora, para dois planos serem paralelos, os vetores normais deles devem ser proporcionais, ou seja, um é um múltiplo escalar do outro. O plano dado no problema é
, e o vetor normal dele é
.
Passo 4
Então, queremos que o vetor normal do plano tangente à esfera, que é
, seja proporcional ao vetor normal do plano dado, que é
. Isso significa que existe um número
tal que:
Ou seja:
Passo 5
Como o ponto
está na esfera
, ele deve satisfazer a equação da esfera:
Substituindo os valores de
,
e
em função de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Com os valores de
, podemos encontrar os pontos
:
Para
:
Para
:
Resposta
Existem dois pontos na esfera
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Esses pontos são:
Exercícios relacionados
Use a regra do quociente para calcular a derivada de
(a) Calcule
se
e
.
(b) A imagem da curva está contida no gráfico de
. Sabe-se que
. Determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
© Seja . Verifique que
.
(d) Admita que
(b) A imagem da curva
© Seja
(d) Admita que
Prove que
é constante sobre a elipse
.
Considere a função
dada por
Mostre que
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:
(a) em
(b) em
© em
(a)
(b)
©