Use a regra do quociente para calcular a derivada de f(x) = (raiz(x) + 2 x) / (7 x - 4 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função usando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a regra do quociente, que serve para derivar funções que são uma divisão entre duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas partes da nossa função: o numerador e o denominador. Vamos chamar o numerador de e o denominador de .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas duas partes separadamente. Isso é necessário porque na regra do quociente, precisamos da derivada do numerador ( ) e do denominador ( ).
Derivando :
Derivando :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Vamos substituir , , e na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos os produtos:
Simplificando:
Agora, expandimos :
Subtraindo esse resultado do primeiro:

Passo 6

Agora, montamos a derivada completa substituindo o numerador simplificado e o denominador original ao quadrado:

Resposta

A derivada da função é:

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