Calcule partial zpartial u e partial zpartial v no ponto indicado
z=tan ^-1(xy), x=u cos v, y=u sin v ; (u, v)=(1.3, pi6)

Passo 1

Vamos resolver o cálculo das derivadas parciais de em relação a e no ponto . Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e utilizando conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e a regra da cadeia. Para isso, precisaremos reescrever em termos de e e aplicar as regras de derivação apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z = tan^-1(xy) em termos de x = u cos v e y = u sin v e z = tan^-1(u cos vu sin v) = tan^-1(cos vsin v) = tan^-1(cot v) . Sabemos que:
z = pi2 - v
E que:
Substituindo e na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial u = 0 :
Para partial zpartial v = -1 :
Isso porque não depende de , apenas de .
Para :
Isso vem da derivada de em relação a .

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial zpartial u = 0 e partial zpartial v = -1 são:

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