Calcule
e
, sendo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Aqui, a matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Queremos encontrar:
Passo 3
Para calcular essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma semelhante para
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos substituir todas essas derivadas na regra da cadeia para encontrar
e
:
Passo 7
Podemos simplificar essas expressões factorando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Determine para quais valores de
e
, a equação
é exata.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Mostre que, para cada
.