Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=e^x / y, x=r^2-s^2, y=r^3+s^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . Aqui, a matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
w = e^xy, x = r^2 - s^2, y = r^3 + s^3
Queremos encontrar:
partial wpartial r e partial wpartial s

Passo 3

Para calcular essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r
E de forma semelhante para partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial wpartial x = partialpartial x ( e^xy ) = 1y e^xy em relação a partial wpartial y = partialpartial y ( e^xy ) = -xy^2 e^xy e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial r = 2r, partial xpartial s = -2s e partial ypartial r = 3r^2, partial ypartial s = 3s^2 em relação a e :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos substituir todas essas derivadas na regra da cadeia para encontrar partial wpartial r = ( 1y e^xy ) cdot 2r + ( -xy^2 e^xy ) cdot 3r^2 e partial wpartial s = ( 1y e^xy ) cdot (-2s) + ( -xy^2 e^xy ) cdot 3s^2 :

Passo 7

Podemos simplificar essas expressões factorando partial wpartial r = e^xy ( 2ry - 3x r^2y^2 ) :
partial wpartial s = e^xy ( -2sy - 3x s^2y^2 )

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial r = e^xy ( 2ry - 3x r^2y^2 )
partial wpartial s = e^xy ( -2sy - 3x s^2y^2 )

Exercícios relacionados