Calcule e , sendo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . Aqui, a matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Queremos encontrar:

Passo 3

Para calcular essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma semelhante para :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a e :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos substituir todas essas derivadas na regra da cadeia para encontrar e :

Passo 7

Podemos simplificar essas expressões factorando :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Determine para quais valores de e , a equação
é exata.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Mostre que, para cada .