Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontrar sua solução geral. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais clara:
Podemos identificar os termos que multiplicam
e
. Vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Comparando, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Vamos comparar as derivadas parciais que encontramos:
Para a equação ser exata, essas duas expressões devem ser iguais. Vamos verificar:
Claramente, essas expressões não são iguais para valores gerais de
e
. Portanto, a equação não é exata.
Passo 5
Como a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que a torne exata. Geralmente, esse fator depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante seja uma função de
, ou seja,
.
Para encontrar
, usamos a condição:
Calculando a diferença das derivadas parciais:
Substituindo na equação para
:
Essa expressão é bastante complicada, e não é fácil encontrar uma função
que satisfaça essa igualdade. Portanto, pode ser que a equação não tenha um fator integrante simples, ou requerer técnicas mais avançadas para solução.
Resposta
Após analisar a equação, concluímos que ela não é exata e, portanto, não podemos encontrar uma solução geral direta utilizando o método de equações exatas.
Exercícios relacionados
Mostre que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que uma função
é contínua em
, se, e somente se, toda sequência de pontos
, com
, se tenha
.
Determine para quais valores de
e
, a equação
é exata.
Calcule
e
, sendo:
.