Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral: x ln y + x y + (y ln x + x y) y' = 0, x > 0, y > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontrar sua solução geral. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais clara:
Podemos identificar os termos que multiplicam e . Vamos organizar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Comparando, temos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos comparar as derivadas parciais que encontramos:
Para a equação ser exata, essas duas expressões devem ser iguais. Vamos verificar:
Claramente, essas expressões não são iguais para valores gerais de e . Portanto, a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que a torne exata. Geralmente, esse fator depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator integrante seja uma função de , ou seja, .
Para encontrar , usamos a condição:
Calculando a diferença das derivadas parciais:
Substituindo na equação para :
Essa expressão é bastante complicada, e não é fácil encontrar uma função que satisfaça essa igualdade. Portanto, pode ser que a equação não tenha um fator integrante simples, ou requerer técnicas mais avançadas para solução.

Resposta

Após analisar a equação, concluímos que ela não é exata e, portanto, não podemos encontrar uma solução geral direta utilizando o método de equações exatas.

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