Mostre que, para cada
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número real
e precisamos mostrar que a interseção de todos os intervalos abertos
para qualquer
positivo resulta apenas no conjunto que contém
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e propriedades de interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa
. Esse é um intervalo aberto que inclui todos os números reais que estão a uma distância menor que
de
. Ou seja, é um "intervalo ao redor de
" com raio
.
Passo 3
Agora, ao considerarmos a interseção de todos esses intervalos para
positivo, queremos encontrar todos os números que estão dentro de todos esses intervalos simultaneamente, independentemente do quão pequeno
seja.
Passo 4
Vamos pensar em um número
que pertence a essa interseção. Isso significa que para todo
,
está no intervalo
. Em outras palavras, a distância entre
e
deve ser menor que qualquer
positivo que escolhemos.
Passo 5
A única maneira de a distância
ser menor que qualquer
é se
. Isso ocorre somente quando
. Portanto, o único número que satisfaz essa condição para todos os
é
mesmo.
Resposta
Assim, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Calcule
e
, sendo:
.
Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
Se é fechado, então para todo
, existe
tal que
.
Se
Mostre que: