Mostre que, para cada .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número real e precisamos mostrar que a interseção de todos os intervalos abertos para qualquer positivo resulta apenas no conjunto que contém . Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e propriedades de interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Esse é um intervalo aberto que inclui todos os números reais que estão a uma distância menor que de . Ou seja, é um "intervalo ao redor de " com raio .

Passo 3

Agora, ao considerarmos a interseção de todos esses intervalos para positivo, queremos encontrar todos os números que estão dentro de todos esses intervalos simultaneamente, independentemente do quão pequeno seja.

Passo 4

Vamos pensar em um número que pertence a essa interseção. Isso significa que para todo , está no intervalo . Em outras palavras, a distância entre e deve ser menor que qualquer positivo que escolhemos.

Passo 5

A única maneira de a distância ser menor que qualquer é se . Isso ocorre somente quando . Portanto, o único número que satisfaz essa condição para todos os é mesmo.

Resposta

Assim, concluímos que .

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Calcule e , sendo: .
Defina a distância de um ponto a um conjunto não-vazio , como sendo:
Mostre que:
Se é fechado, então para todo , existe tal que .
Mostre que: