Determine para quais valores de a, b, c e d, a equação
y' = (a x + b y) / (c x + d y)
é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir para quais valores de e a equação diferencial
é exata. Isso envolve conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar essa condição à nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções e . A equação dada é:
Sabemos que , então podemos rearranjar a equação para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, para uma equação ser exata, ela precisa satisfazer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, igualando as duas derivadas para que a equação seja exata:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 5

A equação acima nos diz que, para a equação diferencial ser exata, o coeficiente deve ser igual a . Ou seja:
Não há restrições diretas sobre e a partir dessa condição de exatidão.

Resposta

A equação diferencial é exata se . Não há restrições específicas para e .

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