Determine para quais valores de e , a equação
é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir para quais valores de e a equação diferencial
é exata. Isso envolve conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar essa condição à nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções e . A equação dada é:
Sabemos que , então podemos rearranjar a equação para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, para uma equação ser exata, ela precisa satisfazer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, igualando as duas derivadas para que a equação seja exata:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 5

A equação acima nos diz que, para a equação diferencial ser exata, o coeficiente deve ser igual a . Ou seja:
Não há restrições diretas sobre e a partir dessa condição de exatidão.

Resposta

A equação diferencial é exata se . Não há restrições específicas para e .

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Mostre que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Calcule e , sendo: .
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral: