Determine para quais valores de
e
, a equação
é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir para quais valores de
e
a equação diferencial
é exata. Isso envolve conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e aplicar essa condição à nossa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções
e
. A equação dada é:
Sabemos que
, então podemos rearranjar a equação para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para uma equação ser exata, ela precisa satisfazer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, igualando as duas derivadas para que a equação seja exata:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 5
A equação acima nos diz que, para a equação diferencial ser exata, o coeficiente
deve ser igual a
. Ou seja:
Não há restrições diretas sobre
e
a partir dessa condição de exatidão.
Resposta
A equação diferencial é exata se
. Não há restrições específicas para
e
.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Mostre que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Calcule
e
, sendo:
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral: