Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como verificar se uma equação é exata.
A equação que a gente tem é:
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever essa equação no formato padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Onde:
-
-
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais. Se
, então a equação é exata.
Passo 4
Vamos calcular
:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Claramente,
pois os termos envolvendo
e
não são iguais. Portanto, a equação não é exata.
Resposta
A equação dada não é exata, portanto não podemos encontrar uma solução geral usando métodos de equações exatas.
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Calcule
e
, sendo:
.
Determine para quais valores de
e
, a equação
é exata.
Mostre que, para cada
.
Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
, como sendo:
Mostre que:
Se é fechado, então para todo
, existe
tal que
.
Se