Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como verificar se uma equação é exata.
A equação que a gente tem é:

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever essa equação no formato padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:

Onde:
-
-

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais. Se , então a equação é exata.

Passo 4

Vamos calcular :
Usando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
Claramente, pois os termos envolvendo e não são iguais. Portanto, a equação não é exata.

Resposta

A equação dada não é exata, portanto não podemos encontrar uma solução geral usando métodos de equações exatas.

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