Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
c) rot(f(r) r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o rotor (ou seja, o ) da expressão , onde e é uma função qualquer de . Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operadores diferenciais como o rotor. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotor de um campo vetorial e usar as regras de derivação necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do rotor de um campo vetorial . Em coordenadas cartesianas, o rotor é dado por:
No nosso caso, . Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotor usando a definição acima. Vamos começar pelo componente :
Calculando as derivadas:
Subtraindo:

Passo 4

Fazendo o mesmo para os componentes e :
Para :
Para :

Resposta

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Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=raizx^2+y^2, x=r e^-s, y=s^2 e^-r
Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) :
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.
Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a) f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
Faça apenas um dos itens abaixo
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de 4/5 pi m^3 / min. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de 0,2 cm/min. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for 20 pi m^3. (Sugestão: use regra da cadeia).