Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a) f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis e queremos saber se ela é contínua na origem, ou seja, no ponto (0,0). A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de e comparar esse limite com o valor da função na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade numa função de várias variáveis. A função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar isso para .

Passo 3

Vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . A função dada é:
Queremos encontrar:

Passo 4

Para calcular esse limite, uma maneira eficiente é usar coordenadas polares. Nessa mudança de coordenadas, a gente representa e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo). As transformações são:
Então, substituindo na função:

Passo 5

Agora, olhando para a expressão , percebemos que ela não depende de . Isso significa que o limite da função depende do ângulo pelo qual a gente se aproxima da origem. Se o limite depender de , então o limite geral não existe, pois valores diferentes de darão limites diferentes.

Passo 6

Para confirmar isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos:
  • Caminho 1: . Então,
Portanto, .
  • Caminho 2: . Então,
Portanto, .

Passo 7

Vimos que ao nos aproximarmos da origem pelo caminho , o limite é , e pelo caminho , o limite é . Como estamos obtendo valores diferentes para o limite dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua na origem, pois o limite quando se aproxima de não existe.

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