Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis
e queremos saber se ela é contínua na origem, ou seja, no ponto (0,0). A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função quando
se aproxima de
e comparar esse limite com o valor da função na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade numa função de várias variáveis. A função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar isso para
.
Passo 3
Vamos analisar o limite da função
quando
se aproxima de
. A função dada é:
Queremos encontrar:
Passo 4
Para calcular esse limite, uma maneira eficiente é usar coordenadas polares. Nessa mudança de coordenadas, a gente representa
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo). As transformações são:
Então, substituindo na função:
Passo 5
Agora, olhando para a expressão
, percebemos que ela não depende de
. Isso significa que o limite da função depende do ângulo
pelo qual a gente se aproxima da origem. Se o limite depender de
, então o limite geral não existe, pois valores diferentes de
darão limites diferentes.
Passo 6
Para confirmar isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos:
- Caminho 1:
. Então,
Portanto,
.
- Caminho 2:
. Então,
Portanto,
.
Passo 7
Vimos que ao nos aproximarmos da origem pelo caminho
, o limite é
, e pelo caminho
, o limite é
. Como estamos obtendo valores diferentes para o limite dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua na origem, pois o limite quando
se aproxima de
não existe.
Exercícios relacionados
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Calcule
e
, sendo:
Faça apenas um dos itens abaixo
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de . O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
. (Sugestão: use regra da cadeia).
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de
Verifique se a função
é diferenciável na origem.