Determine as equações das retas tangentes ao círculo de centro
e raio 2 que sejam paralelas à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas que são tangentes a um círculo com centro em
e raio
, e que são paralelas à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, paralelismo e tangentes a círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta à qual as retas tangentes devem ser paralelas. A equação dada é
. Podemos reescrever essa equação na forma
para identificar o coeficiente angular. Assim, o coeficiente angular dessa reta é
.
Passo 3
Como as retas tangentes que queremos são paralelas a essa reta, elas também terão o mesmo coeficiente angular, ou seja,
. Então, a equação geral das retas que estamos buscando será da forma
, onde
é o termo constante que precisamos descobrir.
Passo 4
Para que uma reta
seja tangente ao círculo de centro
e raio
, a distância entre o centro do círculo e a reta deve ser igual ao raio. A fórmula da distância entre um ponto
e uma reta
é:
Vamos adaptar a equação da reta
para a forma geral:
. Aqui,
,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da distância, com o ponto
e a reta
:
Queremos que essa distância seja igual ao raio, que é
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Resolvendo a equação do valor absoluto:
Então:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
e