Determine as equações das retas tangentes ao círculo de centro C=(1,0) e raio 2 que sejam paralelas à reta x+y-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas que são tangentes a um círculo com centro em C = (1, 0) e raio 2, e que são paralelas à reta x + y - 1 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, paralelismo e tangentes a círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta à qual as retas tangentes devem ser paralelas. A equação dada é x + y - 1 = 0. Podemos reescrever essa equação na forma y = -x + 1 para identificar o coeficiente angular. Assim, o coeficiente angular dessa reta é -1.

Passo 3

Como as retas tangentes que queremos são paralelas a essa reta, elas também terão o mesmo coeficiente angular, ou seja, m = -1. Então, a equação geral das retas que estamos buscando será da forma y = -x + b, onde b é o termo constante que precisamos descobrir.

Passo 4

Para que uma reta y = -x + b seja tangente ao círculo de centro (1, 0) e raio 2, a distância entre o centro do círculo e a reta deve ser igual ao raio. A fórmula da distância entre um ponto (x0, y0) e uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Vamos adaptar a equação da reta y = -x + b para a forma geral: x + y - b = 0. Aqui, A = 1, B = 1 e C = -b.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância, com o ponto (1, 0) e a reta x + y - b = 0:
d = |1 cdot 1 + 1 cdot 0 - b|raiz1^2 + 1^2 = |1 - b|raiz2
Queremos que essa distância seja igual ao raio, que é 2:
|1 - b|raiz2 = 2
Multiplicando ambos os lados por raiz2:
|1 - b| = 2raiz2

Passo 6

Resolvendo a equação do valor absoluto:
1 - b = 2raiz2 ou 1 - b = -2raiz2
Então:
  1. 1 - b = 2raiz2 Rightarrow b = 1 - 2raiz2
  2. 1 - b = -2raiz2 Rightarrow b = 1 + 2raiz2

Resposta

As equações das retas tangentes são:
y = -x + (1 - 2raiz2)
e
y = -x + (1 + 2raiz2)

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