Calcule o perimetro do triángulo formado pelos pontos médios dos lados do triángulo de vértice A(-4,3), B(4,-3) e C (4,3). Represente no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em , e . Nosso objetivo aqui é encontrar o perímetro do triângulo que é formado pelos pontos médios dos lados desse triângulo original. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de pontos médios e distância entre pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos médios de cada lado do triângulo M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) . A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos MAB = ( -4 + 42, 3 + (-3)2 ) = (0, 0) e MBC = ( 4 + 42, -3 + 32 ) = (4, 0) é:
MCA = ( 4 + (-4)2, 3 + 32 ) = (0, 3)
Vamos aplicar essa fórmula para cada lado:
  1. Ponto médio de :
  1. Ponto médio de :
  1. Ponto médio de :
Então, os pontos médios são , e .

Passo 3

Agora que temos os pontos médios, vamos calcular as distâncias entre eles para achar os lados do triângulo formado por esses pontos. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e dAB-BC = raiz(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz16 + 0 = 4 é:
dBC-CA = raiz(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Vamos calcular:
  1. Distância entre dCA-AB = raiz(0 - 0)^2 + (0 - 3)^2 = raiz0 + 9 = 3 e :
  1. Distância entre e :
  1. Distância entre e :

Passo 4

Com as distâncias dos lados do triângulo dos pontos médios, agora é só somar tudo para achar o perímetro:
Perímetro = dAB-BC + dBC-CA + dCA-AB = 4 + 5 + 3 = 12 í

Resposta

O perímetro do triângulo formado pelos pontos médios é 12 unidades.

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