Dados os vetores u=(2,1,-1) e v=(1,-1, alpha), calcular o valor de alpha para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a raiz62 u.a. (unidades de área).
RESP: alpha=3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional: u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, alpha). O exercício quer que a gente encontre o valor de alpha de modo que a área do paralelogramo formado por esses dois vetores seja igual a raiz62 unidades de área.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores no espaço.

Passo 2

A área do paralelogramo formado por dois vetores u e v é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja:
Área = |u times v| Á
O produto vetorial u times v resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores u e v, e o seu módulo representa a área do paralelogramo.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. Para dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = ( (1)(alpha) - (-1)(-1), (-1)(1) - (2)(alpha), (2)(-1) - (1)(1) )
Simplificando cada componente:
  • Primeira componente: 1 cdot alpha - (-1) cdot (-1) = alpha - 1
  • Segunda componente: -1 cdot 1 - 2 cdot alpha = -1 - 2alpha
  • Terceira componente: 2 cdot (-1) - 1 cdot 1 = -2 -1 = -3
Então,
u times v = (alpha - 1, -1 - 2alpha, -3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(alpha - 1)^2 + (-1 - 2alpha)^2 + (-3)^2
Simplificando:
|u times v| = raiz(alpha - 1)^2 + (-1 - 2alpha)^2 + 9
Expandindo os quadrados:
(alpha - 1)^2 = alpha^2 - 2alpha + 1
(-1 - 2alpha)^2 = 4alpha^2 + 4alpha + 1
Então:
|u times v| = raiz(alpha^2 - 2alpha + 1) + (4alpha^2 + 4alpha + 1) + 9
Somando os termos:
|u times v| = raiz5alpha^2 + 2alpha + 11

Passo 5

Segundo o enunciado, a área do paralelogramo deve ser igual a raiz62. Portanto, temos:
raiz5alpha^2 + 2alpha + 11 = raiz62
Podemos eliminar as ra��zes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
5alpha^2 + 2alpha + 11 = 62

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de alpha.
Subtraindo 62 de ambos os lados:
5alpha^2 + 2alpha + 11 - 62 = 0
Simplificando:
5alpha^2 + 2alpha - 51 = 0

Passo 7

Para resolver a equação quadrática 5alpha^2 + 2alpha - 51 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 5, b = 2, e c = -51.
Calculando o discriminante ( De):
De
Como o discriminante é positivo, temos duas soluções reais:
alpha = -2 pm raiz102410 = -2 pm 3210
Portanto:
  • Primeira solução: alpha = -2 + 3210 = 3010 = 3
  • Segunda solução: alpha = -2 - 3210 = -3410 = -3,4

Resposta

O valor de alpha que satisfaz a condição é alpha = 3.

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