Dados os vetores
e
, calcular o valor de
para que a área do paralelogramo determinado por
e
seja igual a
u.a. (unidades de área).
RESP:
RESP:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional:
e
. O exercício quer que a gente encontre o valor de
de modo que a área do paralelogramo formado por esses dois vetores seja igual a
unidades de área.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores no espaço.
Passo 2
A área do paralelogramo formado por dois vetores
e
é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja:
O produto vetorial
resulta em um novo vetor perpendicular aos vetores
e
, e o seu módulo representa a área do paralelogramo.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Para dois vetores
e
, o produto vetorial é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo:
Simplificando:
Expandindo os quadrados:
Então:
Somando os termos:
Passo 5
Segundo o enunciado, a área do paralelogramo deve ser igual a
. Portanto, temos:
Podemos eliminar as ra��zes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de
.
Subtraindo 62 de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 7
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é positivo, temos duas soluções reais:
Portanto:
- Primeira solução:
- Segunda solução:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.