Encontre uma equação geral da parábola de focos e diretrizes dados abaixo:
a) foco (3,1) e diretriz y+3=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação geral de uma parábola, sabendo que o foco está no ponto (3,1) e que a diretriz é a reta . Para isso, vamos usar os conceitos básicos de geometria analítica sobre parábolas, especificamente a definição que relaciona o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Nossa tarefa é encontrar uma equação que descreva todos esses pontos.

Passo 3

Vamos chamar um ponto genérico da parábola de raiz(x - 3)^2 + (y - 1)^2 . A distância desse ponto até o foco pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

A distância do ponto |y - (-3)| = |y + 3| até a diretriz (que pode ser reescrita como ) é simplesmente a diferença vertical entre as coordenadas y do ponto e da diretriz:

Passo 5

Como a definição da parábola afirma que essas duas distâncias são iguais, podemos montar a seguinte igualdade:
raiz(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = |y + 3|

Passo 6

Para simplificar a equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (y + 3)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = y^2 + 6y + 9

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos x^2 - 6x + 9 - 2y + 1 = 6y + 9 de ambos os lados:
x^2 - 6x + 10 - 2y = 6y + 9

Passo 9

Vamos isolar os termos com x^2 - 6x + 10 - 9 = 6y + 2y de um lado da equação:
x^2 - 6x + 1 = 8y

Passo 10

Finalmente, isolamos y = 18x^2 - 68x + 18 para obter a equação geral da parábola:
y = 18x^2 - 34x + 18
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A equação geral da parábola é:
y = 18x^2 - 34x + 18

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