Encontre uma equação geral da parábola de focos e diretrizes dados abaixo:
a) foco (3,1) e diretriz
;
a) foco (3,1) e diretriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação geral de uma parábola, sabendo que o foco está no ponto (3,1) e que a diretriz é a reta
. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de geometria analítica sobre parábolas, especificamente a definição que relaciona o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Nossa tarefa é encontrar uma equação que descreva todos esses pontos.
Passo 3
Vamos chamar um ponto genérico da parábola de
. A distância desse ponto até o foco
pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
A distância do ponto
até a diretriz
(que pode ser reescrita como
) é simplesmente a diferença vertical entre as coordenadas y do ponto e da diretriz:
Passo 5
Como a definição da parábola afirma que essas duas distâncias são iguais, podemos montar a seguinte igualdade:
Passo 6
Para simplificar a equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
Passo 8
Simplificando a equação, cancelamos
de ambos os lados:
Passo 9
Vamos isolar os termos com
de um lado da equação:
Passo 10
Finalmente, isolamos
para obter a equação geral da parábola:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A equação geral da parábola é: