Seja A uma matriz em Mn(R). Mostre que:
(b) a matriz 12(A+A^t) é antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a matriz 12(A + A^t) é antissimétrica. Aqui estamos trabalhando com matrizes quadradas de tamanho n times n com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser antissimétrica e como a transposta da matriz A se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz B é antissimétrica se, ao trocar suas linhas por colunas (ou seja, ao calcular sua transposta B^t), ela se torna o negativo dela mesma. Isso pode ser escrito como:
B^t = -B

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz que queremos mostrar que é antissimétrica:
12(A + A^t)
Vamos chamar essa matriz de B para facilitar:
B = 12(A + A^t)

Passo 4

Para verificar se B é antissimétrica, precisamos calcular a transposta de B e ver se ela é igual a -B:
B^t = (12(A + A^t))^t = 12(A^t + (A^t)^t)
Sabemos que a transposta da transposta de A é A:
(A^t)^t = A
Então:
B^t = 12(A^t + A) = 12(A + A^t) = B

Passo 5

Agora, comparamos B^t com -B:
B^t = B e -B = -12(A + A^t)
Para que B seja antissimétrica, precisamos que:
B^t = -B
Ou seja:
B = -B
O que implica que:
12(A + A^t) = -12(A + A^t)
Somando 12(A + A^t) em ambos os lados:
(A + A^t) = 0
Isso significa que A + A^t = 0, ou seja, A^t = -A.

Passo 6

Assim, a única maneira de 12(A + A^t) ser antissimétrica é se A for antissimétrica. Portanto, a afirmação só é verdadeira se A já for uma matriz antissimétrica.

Resposta

A matriz 12(A + A^t) é antissimétrica somente se a matriz A for antissimétrica, ou seja, se A^t = -A.

Exercícios relacionados