Seja
uma matriz em
. Mostre que:
(b) a matriz
é antissimétrica.
(b) a matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a matriz
é antissimétrica. Aqui estamos trabalhando com matrizes quadradas de tamanho
com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser antissimétrica e como a transposta da matriz
se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz
é antissimétrica se, ao trocar suas linhas por colunas (ou seja, ao calcular sua transposta
), ela se torna o negativo dela mesma. Isso pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos analisar a matriz que queremos mostrar que é antissimétrica:
Vamos chamar essa matriz de
para facilitar:
Passo 4
Para verificar se
é antissimétrica, precisamos calcular a transposta de
e ver se ela é igual a
:
Sabemos que a transposta da transposta de
é
:
Então:
Passo 5
Agora, comparamos
com
:
Para que
seja antissimétrica, precisamos que:
Ou seja:
O que implica que:
Somando
em ambos os lados:
Isso significa que
, ou seja,
.
Passo 6
Assim, a única maneira de
ser antissimétrica é se
for antissimétrica. Portanto, a afirmação só é verdadeira se
já for uma matriz antissimétrica.
Resposta
A matriz
é antissimétrica somente se a matriz
for antissimétrica, ou seja, se
.