Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(a) em torno do eixo- ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Queremos encontrar os valores de onde .
Então, resolvemos:
Portanto, as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual dessas curvas está por cima da outra no intervalo de a .
Para isso, podemos escolher um valor de dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 4

Usando o método dos discos, o volume é dado pela integral:
Onde:
  • é a função que está por cima ( )
  • é a função que está por baixo ( )
  • e são os limites de integração ( e )

Passo 5

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 7

Avaliar a antiderivada nos limites de a :
Para :
Para :
Portanto:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por para encontrar o volume:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação das curvas e em torno do eixo é .

Exercícios relacionados

Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(e) é o retângulo no plano orientada positivamente;
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)

: ao longo de segmentos de reta de até até
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência no plano ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de ;