Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(a)
em torno do eixo-
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Queremos encontrar os valores de
onde
.
Então, resolvemos:
Portanto, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual dessas curvas está por cima da outra no intervalo de
a
.
Para isso, podemos escolher um valor de
dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 4
Usando o método dos discos, o volume
é dado pela integral:
Onde:
-
é a função que está por cima ( ) -
é a função que está por baixo ( ) -
e são os limites de integração ( e )
Passo 5
Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Avaliar a antiderivada nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por
para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação das curvas
e
em torno do eixo
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(e) é o retângulo
no plano
orientada positivamente;
(e)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
: ao longo de segmentos de reta de
até
até
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência
no plano
;
(a)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de
;
(b)