Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a)
é a circunferência
no plano
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que é a circunferência
no plano
. Para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar calcular a integral de linha de
sobre
transformando-a numa integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, lembra como funciona o Teorema de Stokes? Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral da rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como contorno. Matematicamente:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de
. A rotacional
é dada por:
Substituindo
,
, e
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja fronteira seja
. Como
está no plano
, a superfície mais simples é o próprio disco
no plano
. O vetor normal
para essa superfície é
, já que é perpendicular ao plano
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Note que
no plano
, então as outras componentes desaparecem.
Passo 6
Agora, a integral de superfície fica bem mais simples:
Como
é o disco de raio 1, a área dele é
. Então:
Resposta
A integral
vale
.