Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) F(x, y, z)=z^2 i+2 x j-y^3 k, C é a circunferência x^2+y^2=1 no plano x O y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente tem um campo vetorial e uma curva que é a circunferência no plano . Para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar calcular a integral de linha de sobre transformando-a numa integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, lembra como funciona o Teorema de Stokes? Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao longo de uma curva fechada é igual à integral da rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. Matematicamente:
Aqui, é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . A rotacional nabla times F = ( partial (-y^3)partial y - partial (2x)partial z ) i + ( partial (z^2)partial z - partial (-y^3)partial x ) j + ( partial (2x)partial x - partial (z^2)partial y ) k é dada por:
nabla times F = ( -3y^2 - 0 ) i + ( 2z - 0 ) j + ( 2 - 0 ) k = -3y^2 i + 2z j + 2 k
Substituindo , , e :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja fronteira seja . Como está no plano , a superfície mais simples é o próprio disco no plano . O vetor normal para essa superfície é , já que é perpendicular ao plano .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = (-3y^2 i + 2z j + 2 k) cdot k = 2 :
Note que no plano , então as outras componentes desaparecem.

Passo 6

Agora, a integral de superfície fica bem mais simples:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS 2 , dS
Como integral duplaS 2 , dS = 2 times pi = 2pi é o disco de raio 1, a área dele é . Então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados